Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
q(0):|
+
C
G2
(x)
|:G
2
(0):|+…
(18.4)
то из регулярности операторов Nt следует, что в пределе x->0 поведение левой части (18.4) определяется вильсоновскими коэффициентами, умноженными на конечные константы |Nt|. Таким образом, в пределе x->0 лидирующее поведение хронологического произведения операторов TA(x)B(0) определяется коэффициентом C1(x), а старшие
Вернемся к разложению (18.1). Так как операторы Nt(x,y) регулярны, их можно разложить по степеням разности x-y. При у = 0 получаем
N
t
(x,0)=
n
x
1
…x
n
N
(n)1…n
t
(0,0) .
Например, для полей q(x) и q(x) имеем
:
q
(0)q(-x):=
n
x
1
…x
n
(-1)n
n!
:
q
(0)
1
…
n
q(0):.
(18.5)
В случае калибровочной теории, такой как КХД, обычные производные, фигурирующие в (18.5), следует заменить ковариантными производными29а). Тогда получаем
29а) Интуитивно это ясно. Формальное доказательство можно получить, заметив, что оператор q(0)q(-1) не является калибровочно-инвариантным. Калибровочная инвариантность восстанавливается при введении экспоненциального множителя P exp0– 1dytaBa . См. , например, работу [269] и приложение И.
TA(x)B(0)
x->0
C
1
(x)1+C
(x)
n
x
1
…x
n
(-1)n
n!
x
:
q
(0)D
1
…
D
n
q(0):+… .
(18.6)
В пределе x->0 члены, содержащие производные, в (18.6) в общем случае представляют собой малые поправки, так как они содержат дополнительные степени x. Но такое утверждение неверно для разложения на световом конусе. В этом случае нас интересует поведение в пределе x2– >0, который отнюдь не означает, что каждая из компонент x->0. Поэтому
Применим теперь операторное разложение к хронологическому произведению адронных токов, появлявшихся в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния. Поведение этих токов на световом конусе определяет в бьеркеновском пределе структурные функции кварков. Прежде чем приступить к расчетам, введем некоторые обозначения. Вначале рассмотрим векторные и аксиальные токи, описанные в § 17. Их можно записать в виде комбинаций из восемнадцати токов:
V
a
(x)
=
ff'
:
q
f
(x)
a
ff'
q
f'
(x): ,
A
a
(x)
=
ff'
:
q
f
(x)
a
ff'
5
q
f'
(x): ,
V
0
(x)
=
f
:
q
f
(x)
q
f
(x): ,
A
0
(x)
=
f
:
q
f
(x)
5
q
f
(x): .
(18.7)
Этим токам можно придать единообразный вид, полагая 0ff'=ff' и считая, что индекс a пробегает значения 0, 1, …, 8. Например, электромагнитный ток кварков записывается в виде
J
em
=
1
2
V
3
+
1
3
V
8
.
(18.8)
Отметим, что матрицы действуют в пространстве ароматов. Мы включаем в рассмотрение кварки трех сортов: q1=u, q2=d, q3=s; учет остальных сортов кварков не представляет трудности. Естественно, во всех формулах подразумевается суммирование по цветовым индексам.