Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Q
4
·
x
4
(1+4x^2m
^2
N /Q^2)5/2
1
d'
x
1
d''
''^2
f
2
('',Q^2),
(25.6)
где —
=
2x
1+(1+4x^2m
^2
N /Q^2) 1/2
(25.7)
Следует отметить некоторые особенности полученных формул. Во-первых, при малых значениях переменных x, поскольку поправки на массу мишени ведут себя как x^2m^2N/Q^2, ими можно полностью пренебречь. Эти поправки важны только при больших (но не слишком больших) значениях переменной x . В самом деле, если эти формулы применить к случаю x->1, то возникают неустойчивости. Это происходит по двум причинам. Во-первых, вклад операторов высших твистов (которые рассматриваются ниже) возрастает в пределе x->1. Хотя и ожидается, что обусловленные этими операторами поправки имеют вид 3M^2/Q^2 , где M, т.е. на половину порядка величины меньше, чем поправки на массу мишени, но могут происходить (и, вероятно, происходят) разного рода сокращения40а). Во-вторых, как было показано в § 23, в пределе x->1 теория возмущений неприменима.
40а) Обсуждение этого вопроса можно найти в работах [90,91]
Поэтому более последовательным, по-видимому, было бы разложить 25.6) в ряд по степеням величины m^2N/Q^2 и сохранить только ведущий член. Выражение для поправок на массу мишени в этом случае упрощается и принимает вид
f
TMC
(x,Q^2)
=
f(x,Q^2)
+
x
^2
N
Q
^2
6x
1
x
dy
f(y,Q^2)
y^2
– x
x
f(x,Q^2)-4f(x,Q^2)
.
(25.8)
При этом КХД становится неприменимой, когда поправки второго порядка
~
x^3(
s
)n
2
N
(1-x)Q
2
^2
велики. Другими словами, мы принимаем эту величину в качестве параметра, характеризующего допустимую ошибку вычислений: трудно утверждать, что следует учитывать поправки порядка m4N/Q4 и в то же время пренебрегать поправками порядка M^2/Q^2.
§ 26. Непертурбативные эффекты в e+e– – аннигиляции и операторы высших твистов в процессах глубоконеупругого рассеяния
Мы рассматриваем оба эти эффекта в одном параграфе потому, что, с нашей точки зрения, они связаны друг с другом. Начнем с обсуждения непертурбативных (нетеоретиковозмущенческих)
Рассмотрим хронологическое произведение
TJ
(x)J
(0)
с точки зрения операторного разложения. При малых x для него можно записать разложение по операторному базису, которое в импульсном пространстве с учетом обозначения Q^2=-q^2 имеет вид
i
dx e
iq·x
TJ
(x)J
(0)
=
(-g
q^2+q
q
)
x
C
0
Q^2/^2,g
·1+
f
C
f
Q^2/^2,g
m
f
:
q
f
(0)q
f
(0):
+
C
G
Q^2/^2,g
s
:
G
a
(0)G
a
:+…
.
(21.6)
В § 15 мы рассматривали только первый член разложения C01. Это было сделано по двум причинам. Во-первых, основываясь только на размерном анализе, можно ожидать, что коэффициенты Cf и CG ведут себя следующим образом:
C
f
(constant)
Q4
, C
G
(constant)
Q4
.
(26.2)
Во-вторых, во всех порядках теории возмущений
:
q
q:
0
=0
,
:G^2:
0
=0 ,
(26.3)
Однако, как будет показано ниже (см. § 30 и последующие параграфы), физический вакуум не совпадает с вакуумом теории возмущений, а должен содержать ряд непертурбативных эффектов. Используем индекс vac для обозначения физического вакуума. Весьма вероятно, что в реальном физическом мире выполняются неравенства
:
q
q:
vac
/=0
,
:G^2:
vac
/=0 ,
Вернемся к разложению (26.1). При Q^2-> для любого n член [1/log (Q^2/^2)]n убывает медленнее, чем члены вида (M^2/Q^2)r, и, следовательно, превосходит их. Но могут существовать промежуточные области, где, например, члены (26.2) столь же важны, как и поправки второго порядка к коэффициенту C0 , который является чисто пертурбативным членом. Таким образом, при практическом применении операторного разложения40б) полезно рассмотреть все выражение (26.1) в целом.