Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
0
d (,^2)e
ip1·z
(27.13)
и, проведя в (27.11) интегрирование по переменным z,y;k,p , получить следующий результат:
V
(p
1
,p
2
)
=
CFg^2
48
1
0
d(,^2)
1
0
d
*
(,^2)
x
Tr
p2k2
+
(p
1
<->p
2
) ,
(27.14
где
p=p
1
– (1-)p
2
,
k=(1-)p
2
– (1-)p
2
.
(27.14 б)
Таким образом, нам удалось разбить вершину на "мягкую часть", описываемую волновыми функциями и *, и на "жесткую часть" (рис. 24, в и г). Переменные и описывают долю импульса, приходящуюся на каждый кварк. Вычислив след в формуле (27.14), приходим к окончательному результату
F
(q^2)
=
4CFs(Q^2)
6Q^2
1
0
d
(,Q^2)
1-
^2
+O
M
2
Q
2
+O(
2
s
),
Q^2
– q^2
(27.15)
Последняя задача состоит в вычислении зависимости волновой функции от Q^2. Операторы, которые определяют функцию с помощью уравнений (27.12), аналогичны операторам, определяющим несинглетную часть структурных функций в процессах глубоконеупругого рассеяния (§ 19, 20). Но есть и некоторые дополнительные трудности: ввиду недиагонального характера матричных элементов суммарные расходимости приводят к ненулевому вкладу. Операторы N1…nA,n,k, k=0,…,n ,
N
1…n
A,n,k
=
n
d
(0)
5
D
1
…D
k
u(0)
(27.16)
при
N
A,n,k
– >
k'
Z
n+1,k'
N
A,n,k
.
(27.17 а)
При k=n элементы матрицы Zn+1,n совпадают с элементами, вычисленными в § 20:
Z
n+1,n
=1+
g^2N
16^2
C
F
4S
(n+1)-3-
2
(n+1)(n+2)
;
(27.17 б)
при k<=n-1 они имеют значения
Z
n+1,n
=
g^2N
16^2
C
F
2
n+2
–
2
n-k
.
(27.17 в)
Чтобы получить операторы, обладающие определенным поведением в пределе Q^2-> 41а), нужно диагонализовать матрицу Z. Пусть этого можно достигнуть при помощи матрицы S ; тогда, обозначив через ^Ak диагональные матрицы, получаем соотношение
41а) Красивый альтернативный метод, основанной на свойствах конформной инвариантности, приведен в работе [117].
A
n
(Q^2)
=
n
k=0
S
nk
^A
k
(Q^2).
(27.18)
Аномальные размерности матриц ^Ak представляют собой собственные значения матрицы Z. Но из треугольного характера матрицы Z следует, что ее собственные значения являются просто ее диагональными элементами. Следовательно, в пределе Q^2-> имеем
^A
k
(Q^2)
Q^2->
[
s
(Q^2)]
dNS(k+1)
^A
k0
В ведущем порядке теории возмущений, учитывая неравенство dNS(k+1) > dNS(1)=0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат
A
n
(Q^2)
– >
Q^2->