Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

.

(29.5)

Пусть матрица M имеет компоненты M_ll' . На основании хорошо известного полярного разбиения матриц можно написать

M=mU

,

где матрица m положительно определена, поэтому все ее собственные значения больше нуля, а матрица U унитарна. Тогда выражение (29.5) принимает вид

M'=

q

_iL

m

_ll

q'

_l'R

+

q

'

_iR

M*

_ll'

q

_l'L

, q'

_lR

=

 

^l'

U

_ll'

q

_l'R

,

(29.6)

где

использовано свойство самосопряженности матрицы m. Переопределим поля по формуле q'=q'_R+q_L ; тогда выражение (29.6) в терминах полей q' примет вид

M'=

q

'

_l

m

_ll'

q'

_r

,

где использовано равенство q_Rq_R=q_Lq_L=0. Теперь для того, чтобы получить формулу (29.3), достаточно преобразовать поля q', используя для этого матрицу V, диагонализующую матрицу m. Положительность значений величин m_l следует из того, что они являются собственными значениями матрицы m. (Отметим, что член q

D

q в лагранжиане инвариантен относительно преобразований такого вида.)

Теорема 2. Если все массы m_l имеют различные ненулевые зиачения, то единственными преобразованиями, оставляющими массовых член инвариантным, являются преобразования [U(1)]ⁿ вида (29.4).

Предположим, что W₊=W_– =W; проверку этого равенства оставляем читателю в качестве упражнения. Условие инвариантности массовой матрицы приводит к соотношению

W⁺mW=m

, т.е

mW=Wm

.

(29.7)

Известно, что любую диагональную матрицу можно записать в виде ^n-1_k=0c_km^k если все собственные значения матрицы m различны и не равны нулю, как это имеет место в нашем случае. Из соотношения (29.7) следует, что матрица W коммутирует со всеми диагональными матрицами, а следовательно, она сама должна быть тоже диагональной. Поскольку эта матрица является еще и унитарной, она может быть записана в виде произведения преобразований (29.4), что и требовалось доказать. Проверку того, что сохраняющейся величиной, соответствующей преобразованию U(1), действующему на поле кварка q_f, является соответствующее квантовое число аромата, оставляем читателю в качестве упражнения.

При

доказательстве приведенных теорем мы не беспокоились о том, являются ли массы m голыми, бегущими или инвариантными. Это обусловлено тем, что в перенормировочной схеме MS массовая матрица перенормируется как одно целое по формуле

M

=Z

_{– 1}

^m

M

_u

,

где коэффициент Z_m– число. Доказательство очень простое. Фактически для этого нужно только повторить рассуждения § 7 - 9 и 14, учитывая матричный характер величин M и Z_m . В произвольной ковариантной калибровке для расходящейся части кваркового пропагатора получим

S

^R

(p)

=

i

p

– M

+

i

p

– M

– [

_F

(

p

–

M

)+(

p

–

M

)

₊

^F

]-

M

–

(1-)(

p

–

M

)N

C

_F

g^2

16^2

+3N

C

_F

M

g^2

16^2

i

p

– M

,

где введены обозначения

M

=

M

_u

+

M

,

Z

_F

=1+

_F

.

Условия перенормировки приводят тогда к соотношениям

₊

^F

+

_F

=-(1-)N

C

_F

g^2

16^2

диагональна,

_F

M

=

M

_F

,

M

M

=(

M

)M ,

M

=3N