Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Впервые интеграл по траекториям был введён в работах Эйнштейна и Смолуховского по теории броуновского движения, где было показано, что для броуновской частицы вероятность пройти вдоль траектории x=x(t) таким образом, чтобы
x(0)=0,
a1 < x(t1) < b1,
. . . . . . .
an < x(tn) < bn,
где
0 < t1 < t2 < … < tn
равна
b1
a1
…
bn
an
P(0|x
1
;t
1
)P(x
1
|x
2
;t
2
– t
1
)…
…P(x
n-1
|x
n
;t
n
– t
n-1
)dx
1
…dx
n
,
где
P(x|y;t)
=
1
2Dt
D —
С математической точки зрения обоснование такого предельного перехода требует прежде всего строгого определения дифференциального элемента объёма Dnx — меры в соответствующем функциональном пространстве. Эта задача была подробно рассмотрена в начале двадцатых годов Винером [8, 9], который показал, что в случае независимых смещений броуновской частицы ykx(tk)-x(tk-1) мера
D
n
x
=
exp [-
n
k=1
y
2
k
/4D(t
k
– t
k-1
)]
n
k=1 4D(tk– tk-1)
n
k=1
dx
k
Это выражение принято называть мерой Винера (более строгий вывод Dnx дан в монографии Каца [10]).
Интеграл по траекториям от функционала F[x(t)] записывается в виде
F[x(t)]D
n
x
=lim
b1
a1
…
bn
an
F(y
1
;y
2
;…y
n
)D
n
x.
Интегралу Эйнштейна — Смолуховского соответствует функционал F, тождественно равный единице. Фейнмановский интеграл по траекториям отличается лишь тем, что фактор (—1) в экспоненте выражения Dnx заменяется мнимой единицей i, а постоянной D придаётся другой физический смысл.
В книге Фейнмана и Хибса не дано строгого определения интеграла по траекториям; он вводится чисто интуитивно как предел соответствующего
Как отмечают сами авторы, их книга является не законченным учебником квантовой механики, а скорее введением в этот важнейший раздел современной физики; в качестве учебника её можно использовать совместно с каким-либо другим пособием, где подробно рассмотрены уравнение Шрёдингера и применение аппарата квантовой механики к решению конкретных физических задач (например, из курсов [1—7]).
Книга, несомненно, окажется полезной и интересной как для специалистов, которые уже владеют методами квантовой теории и желают расширить свой теоретический кругозор взглянув на знакомые вещи с несколько другой стороны, так и для аспирантов и студентов, изучающих квантовую механику.
Перевод выполнен Э. М. Барлитом (предисловие, гл. с 1 по 4 и с 10 по 12) и Ю. Л. Обуховым (гл. с 5 по 9).
В. С. Барашенков
Литература
1.
Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, М., 1958.
2.
Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики, М., 1966.
3.
Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1963.
4.
Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, М., 1960.
5.
Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, М., 1963.
6.
Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая механика, М., 1962.
7.
Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957.
8.
Wiener N., Jorn. of Mathem. and Physics, Massachusetts Institute of Technology, 2, 131 (1923).
9.
Wiener N., Proc. London Math. Soc. (Ser. 2), 2, 454 (1924).
10.
Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.
Предисловие
В основу своего нового подхода к квантовой механике Р. Фейнман положил интеграл по траекториям. Основные физические и математические идеи такого подхода впервые возникли у него во время прохождения аспирантуры в Принстоне, хотя в законченном виде, подобном изложению в настоящей книге, они не были сформулированы ещё несколько лет. Эти ранние исследования были вызваны проблемой расходимости собственной энергии электрона. В ходе работы возникла идея некоторого «принципа наименьшего действия», с помощью которого удалось справиться с расходимостями, возникающими в классической электродинамике.
Затем появилась мысль применить этот принцип к квантовой механике, чтобы получить классическую механику как предельный случай квантовой при h стремящейся к нулю.
Фейнман в это время пытался как-нибудь связать квантовомеханическое описание явлений с такими классическими понятиями, как лагранжиан или гамильтонова функция действия — первообразная от лагранжиана. Из бесед с одним европейским физиком, гостившим в то время в США, он узнал о статье Дирака1), где рассматривалось преобразование квантовомеханической волновой функции с помощью экспоненты от лагранжиана, помноженного на i. Дирак предполагал, что это преобразование аналогично переходу от значения волновой функции в некоторый момент к её значению в другой момент, отделённый интервалом , причём такой переход совершается простым умножением на упомянутую экспоненту.