Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Результат этого эксперимента должен недвусмысленно показать, что электрон действительно проходит либо через первое, либо через второе отверстие, т.е. на каждом электроне, который попадает на экран C (предполагается, что интенсивность света достаточна для того, чтобы мы не перестали видеть электрон), рассеяние света происходит либо позади отверстия 1, либо позади отверстия 2 и никогда не происходит (если источник S очень слабый) в обоих местах сразу (более тонкий эксперимент мог бы даже показать, что заряд проходит либо только через одно отверстие, либо только через другое и что во всех случаях это полный заряд электрона, а не часть его).

А теперь возникает парадокс. Действительно, предположим, что мы объединяем два

эксперимента. Будем следить, через какое отверстие проходит электрон, и в то же время определять вероятность того, что он попадёт в точку x. Тогда о каждом электроне, попадавшем в точку x, мы можем сказать, основываясь на эксперименте, пришёл он через отверстие 1 или через отверстие 2. Сперва мы можем проверить, что вероятность даётся кривой b. Если из всех попадающих в точку x электронов отобрать только те, которые приходят через отверстие 1, то мы убедимся, что их распределение действительно очень близко к кривой b (этот результат получается независимо от того, открыто или закрыто отверстие 2, и нам ясно, что это обстоятельство никак не влияет на движение вблизи отверстия 1). Если же отобрать электроны, проходившие, как мы видели, сквозь отверстие 2, то получим кривую P₂, очень близкую к кривой C на фиг. 1.2. Но тогда каждый электрон появляется только в одном из двух отверстий, и мы можем разделить все электроны на два различных класса. Следовательно, если объединить теперь оба эти класса, то мы должны получить распределение P=P₁+P₂ (кривая d на фиг. 1.2) и притом получить это экспериментально. Теперь интерференционные эффекты в эксперименте почему-то не проявляются.

Что же изменилось? Когда мы следим за электронами, чтобы установить, через какое отверстие они проходят, то получаем результат P=P₁+P₂. Если же не следим за ними, получаем другой результат:

P=|

₁

+

₂

|^2/=P

₁

+P

₂

.

Как видно, следя за движением электронов, мы изменили вероятность того, что они попадут в точку x. Как это могло произойти? Впрочем, для наблюдения за электронами мы использовали свет; видимо, он при столкновении с электронами изменяет их движение, или, точнее, изменяет вероятность их попадания в точку x.

Нельзя ли ослабить интенсивность света в надежде уменьшить таким образом его воздействие? Незначительное возмущение, разумеется, не сможет вызвать конечное изменение распределения. Однако слабый свет вовсе не означает более слабого воздействия. Свет состоит из фотонов с энергией h и импульсом h/ (где — частота и , — длина волны). Ослабить свет — значит просто уменьшить количество фотонов, так что мы могли бы вообще перестать видеть электрон, но если мы его все же видим, то это означает, что фотон рассеялся как целое и электрону передан конечный импульс порядка h/.

Электроны, которые мы не видим, распределяются в соответствии с правилом интерференции а, тогда как замеченные нами и, следовательно, рассеявшие фотон попадают в точку x с вероятностью P=P₁+P₂. Поэтому суммарное распределение представляет собой среднее взвешенное распределений а и d. В случае большой интенсивности света, когда рассеяние происходит почти на всех электронах, оно близко к распределению d; в случае же очень малой интенсивности, когда лишь незначительное число электронов рассеивает свет, оно становится более похожим на распределение a.

Могло бы показаться, что, поскольку свет передаёт импульс h/, можно было бы все же попытаться ослабить этот

эффект, применяя свет с большей длиной волны. Однако всему есть предел. Если длина волны очень велика, мы не сможем определить, где рассеялся свет: за отверстием 1 или за отверстием 2, поскольку источник света с длиной волны нельзя локализовать в пространстве с точностью, превышающей .

Таким образом, во избежание парадокса любое физическое вмешательство, имеющее целью определить, через какое отверстие проходит электрон, должно исказить опыт и превратить распределение а в d.

Впервые это заметил Гейзенберг; он сформулировал свой принцип неопределённости, гласящий, что самосогласованность новой механики требует ограничения точности, с которой могут быть выполнены эксперименты. В нашем случае это означает, что любая попытка сконструировать прибор, определяющий то отверстие, через которое прошёл электрон, и при этом настолько «деликатный», чтобы не вызвать нарушения интерференционной картины, обречена на неудачу. Внутренняя согласованность квантовой механики требует общности этого утверждения; оно обязано охватывать все физические средства, которые можно было бы применить для уточнения траектории электрона. Мир не может быть наполовину квантовомеханическим, наполовину классическим.

Никаких исключений из принципа неопределённости до сих пор не обнаружено.

§ 2. Принцип неопределённости

Мы сформулируем принцип неопределённости следующим образом: если в процессе выбора из альтернативных ситуаций удаётся проследить более чем за одной из них, то интерференция между этими альтернативами становится невозможной. Первоначальная формулировка принципа, данная самим Гейзенбергом, отличалась от нашей, и мы несколько задержимся, чтобы обсудить исходную гейзенберговскую формулировку.

В классической физике частицу можно считать движущейся по определённой траектории и приписывать ей в каждый момент времени определённые положение и скорость. Такое описание не привело бы к тем необычайным результатам, которые, как мы видели, характерны для квантовой механики. Принцип Гейзенберга ограничивает применимость подобного классического описания. Например, имеет свои пределы представление о том, что частица 'занимает определённое положение и обладает определённым импульсом. Реальная система (т.е. система, подчиняющаяся квантовой механике) представляет собой, если смотреть на неё с классической точки зрения, систему, в которой положение и импульс не определены. Тщательным измерением можно уменьшить неопределённость положения, а в других опытах можно было бы точнее определить импульс. Однако, как утверждает принцип Гейзенберга, нельзя точно измерить обе эти величины одновременно; в любом эксперименте произведение неопределённостей импульса и координаты не может быть меньше некоторой величины порядка h^*). Аналогичное условие требуется и для физической согласованности ситуации, которую мы обсуждали выше. Это можно показать, рассмотрев ещё одну попытку определения, через какое именно отверстие проходит электрон.

^* h=h/2=1,054•10^{– 27} эрг/см, где h — постоянная Планка.

Пример. Если электрон, проходя через одно из отверстий, отклоняется, то вертикальная составляющая его импульса изменяется. Кроме того, электрон, попадающий в детектор x после прохождения отверстия 1, отклоняется на иной угол (а потому и импульс его претерпевает иное изменение), нежели электрон, попадающий в точку x через отверстие 2. Предположим, что экран B не закреплён жёстко, а может свободно передвигаться вверх и вниз (фиг. 1.5). Любое изменение вертикальной составляющей импульса электрона в момент его прохождения через отверстие будет сопровождаться равным и противоположным по знаку изменением импульса экрана, которое можно найти, измеряя скорость экрана до и после прохождения электрона. Обозначим через p разность между изменениями импульсов электронов, проходящих через отверстия 1 и 2. Тогда для однозначного выяснения того, через какое отверстие прошёл электрон, требуется определить импульс экрана с точностью, превышающей p.