Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
x(t
a
)=
x(t
b
)=0.
(2.3)
Условие экстремальности для S, соответствующего классической траектории x, означает, что
S=S[
x
+x]-
S[
x
]=0
(2.4)
с точностью до первого порядка малости по x. Используя определение (2.1), мы можем далее написать
S[x+x]
=
tb
ta
L(x+x,x+x,t)dt=
=
tb
ta
L(x,x,t)+x
L
x
+x
L
x
dt=
=
S[x]+
tb
ta
x
L
x
+x
L
x
dt.
(2.5)
После
S=x
L
x
tb
ta
–
tb
ta
x
d
dt
L
x
–
L
x
dt.
(2.6)
Так как на концах траектории x = 0, то первый член в правой части этого выражения равен нулю. В промежуточных точках x может принимать произвольное значение; поэтому экстремальное значение S отвечает той траектории, в каждой точке которой всегда выполнено равенство
d
dt
L
x
–
L
x
=0.
(2.7)
Это и есть классическое уравнение движения в лагранжевой форме.
В классической механике важен вид интеграла S=Ldt, а не его экстремальное значение Sкл. Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие S для всего семейства близколежащих траекторий.
В квантовой механике важны как сам вид интеграла S, так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение S для нескольких случаев.
Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан L=mx^2/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,
S
кл
=
m
2
(xb– xa)^2
tb– ta
(2.8)
Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора L=(m/2)(x^2-x^2). Покажите, что классическое действие
S
кл
=
m
2sin T
(x
2
a
+x
2
b
) cos T-2x
a
x
b
(2.9)
где T=tb– ta.
Задача 2.3.
Задача 2.4. В классической механике импульс
p=
L
x
.
(2.10)
Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен
L
x
x=xa
=
Sкл
xa
.
(2.11)
Замечание. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках.
Задача 2.5. Энергия в классической механике определяется выражением
E=L-xp.
(2.12)
Покажите, что в конечной точке траектории энергия равна
E(x
b
)-x
b
L
x
x=xb
=
Sкл
tb
.
(2.13)
Замечание. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими.
§ 2. Квантовомеханическая амплитуда вероятности
Теперь мы можем сформулировать квантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности. Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки a в точку b. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию S для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия h. Таким образом, подводим итог: вероятность P(b,a) перехода частицы из точки xa, где она находилась в момент времени ta, в точку xb, соответствующую моменту времени tb, равна квадрату модуля амплитуды перехода P(b,a)=|K(b,a)|^2. Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов [x(t)] от каждой траектории в отдельности, т.е.
K(b,a)=
[x(t)]
по всем
возможным
переходам
из a в b
(2.14)
где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки a и b. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию S:
[x(t)]=const·e
(i/h)S[x(t)]
(2.15)
Действие S здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выражение (2.1)]. Константу можно, выбрать из соображений удобства нормировки величины K; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, что понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2.14).