Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Эту мысль можно пояснить, продолжив рассмотрение нашего эксперимента с двумя отверстиями. Пусть между источником и отверстием помещена пара дополнительных экранов D и E (фиг. 19). В каждом из них проделаем по нескольку отверстий, которые обозначим D1, D2, … и E1, E2, … . Для простоты будем предполагать, что движение электронов происходит в плоскости (x, y). В таком случае имеется несколько альтернативных траекторий, которые может выбрать электрон при своём движении от источника к отверстию в экране B. Он мог бы направиться сначала к отверстию D2, далее к E3 и затем к отверстию 1
Фиг. 1.9. Опыт с несколькими отверстиями в экранах.
Когда в экранах D и E, помещённых между источником на экране A и конечной точкой на экране C, проделано несколько отверстий, для каждого электрона имеется несколько альтернативных траекторий. Каждой из этих траекторий соответствует своя амплитуда вероятности. Чтобы определить результат какого-либо эксперимента, в котором открыты все отверстия, необходимо просуммировать все эти амплитуды по одной для каждой возможной траектории.
Предположим теперь, что мы увеличиваем число отверстий в экранах D и E до тех пор, пока от экранов ничего не останется. Траектория электрона должна определяться в этом случае высотой xD, на которой электрон пересекает несуществующий экран D, расположенный от источника на расстоянии yD, а также высотой xE и расстоянием yE, как это показано на фиг. 1.10. Каждой паре значений xD и xE здесь соответствует своя амплитуда. Принцип суперпозиции по-прежнему остаётся в силе, и мы должны взять сумму (теперь уже интеграл) этих амплитуд по всем возможным значениям xD и xE.
Фиг. 1.10. Число отверстий стремится к бесконечности.
В экранах, расположенных на расстояниях yD и yE от экрана A, проделывается все большее и большее число отверстий. В конце концов экраны полностью заполняются отверстиями, и получается непрерывная область точек вверх и вниз от центров экранов, в которых электрон может пересекать линию экрана. В этом случае сумма альтернатив превращается в двойной интеграл по непрерывным параметрам xD и xE — альтернативным высотам, на которых электрон пересекает экраны.
Следующий шаг, очевидно, состоит в размещении между источником и отверстиями все большего и большего числа экранов, причём каждый из них должен сплошь покрываться отверстиями. Продолжая этот процесс, мы будем все более уточнять траекторию электрона, пока, наконец, не придём к вполне разумному выводу, что траектория является просто определённой функцией высоты от расстояния, т.е. x=x(y). При этом мы должны применять принцип суперпозиции до тех пор, пока не получим интеграл от амплитуды по всем траекториям.
Теперь можно дать значительно более точное описание движения. Мы можем не только представить себе определённую траекторию x=x(y) в пространстве, но и точно указать момент времени, в который проходится каждая пространственная точка. Следовательно, траектория (в нашем двумерном случае) будет задана, если известны две функции: x(t) и y(t). Таким образом, мы приходим к представлению об амплитуде, соответствующей определённой траектории x(t), y(t). Полная амплитуда вероятности попадания в конечную точку представляет собой сумму или интеграл от этой амплитуды по всем возможным траекториям.
Задаче
Там же мы получим выражение амплитуды вероятности для любой заданной траектории. После того как это выражение найдено, законы нерелятивистской квантовой механики оказываются полностью установленными и останется лишь продемонстрировать их применение в ряде интересных специальных случаев.
§ 5. Над чем ещё следует подумать
Мы увидим, что в квантовой механике амплитуды являются решениями строго детерминистского уравнения, уравнения Шрёдингера в том смысле, что если амплитуда известна в момент времени t = 0, то мы будем знать её и во все последующие моменты времени. Истолкование же ||^2 как вероятности события — индетерминистское. Оно означает, что нельзя точно предсказать результат эксперимента. Весьма примечательно, что такое истолкование не приводит к каким-либо внутренним противоречиям. Это было показано Гейзенбергом, Бором, Борном, Нейманом и многими другими физиками на примере огромного количества частных случаев. Однако, несмотря на все эти исследования, нельзя считать доказанным, что такие противоречия никогда не смогут возникнуть. По этой причине квантовая механика кажется новичку трудной и до некоторой степени таинственной дисциплиной. Тайна постепенно уменьшается по мере того, как разбирается все большее число примеров, но никогда не исчезает полностью ощущение, что у этого предмета есть что-то необычное.
Существует несколько проблем, связанных с интерпретацией, над которыми можно было бы ещё поработать. Эти проблемы трудно изложить, пока они ещё полностью не разработаны. Одна из них — это доказать, что вероятностная интерпретация функции является единственной последовательной интерпретацией этой величины. Мы и наши измерительные средства составляем часть природы и, следовательно, должны в принципе описываться функцией, удовлетворяющей детерминистскому уравнению. Почему же мы можем предсказать лишь вероятность того, что данный эксперимент приведёт к некоторому определённому результату? Откуда возникает неопределённость? Почти нет сомнения, что она возникает из необходимости усиливать эффекты одиночных атомных событий до уровня, доступного наблюдению с помощью больших систем. Детали же должны изучаться только на основе предположения, что ||^2 есть вероятность, а последовательность этой гипотезы уже доказана. Было бы интересно показать, что нельзя предложить никакого другого последовательного истолкования этой величины.
Другие вопросы, которые можно было бы изучать, связаны с теорией познания. На первый взгляд кажется, что в нашем описании мира нет симметрии по оси времени, и наше знание прошлого качественно отличается от знания будущего. Почему нам доступна только вероятность будущего события, в то время как достоверность прошедшего события часто может считаться очевидной? Эти вопросы следует проанализировать более тщательно. Впрочем, чтобы внести ясность, может быть, стоит сказать несколько больше. Видимо, здесь мы снова сталкиваемся с последствиями макроскопических размеров нас самих и наших приборов. На самом деле не должно быть обычного разделения на наблюдаемого и наблюдателя, применяемого нами сейчас при анализе измерений в квантовой механике; этот вопрос требует обстоятельного изучения. Что, по-видимому, действительно нужно,— это статистическая механика макроскопических приборов, усиливающих изучаемый эффект.
В сущности изучение таких вопросов представляет собой предмет философии; для дальнейшего развития физики в нем нет необходимости. Мы знаем, что у нас есть последовательная интерпретация функции и что она, почти несомненно, является единственной. Задачей сегодняшнего дня представляется открытие законов, описывающих поведение функции в случае явлений с участием мезонов и атомных ядер. Интерпретация функции представляет интерес, однако значительно более интригующим, является вопрос: какие изменения в наших представлениях потребуются для того, чтобы мы смогли изучать явления внутриядерных масштабов?