Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
+
V(x
k
)
.
(7.112)
В то же время операторная форма матричного элемента перехода для этого гамильтониана будет иметь вид
|H
k
|
=
–
*
p^2
2m
+V(x)
dx
=
–
*
H
dx
.
(7.113)
Хотя
Чтобы сделать это, разобьём ось времени на бесконечно малые отрезки, подобно тому как мы поступали при определении интегралов по траекториям. Однако теперь важно отметить, что деление оси на равные отрезки не является обязательным. Здесь подходит любое разбиение точками ti, важно лишь, чтобы в пределе (независимо от величины элементов разбиения) все отрезки ti+1– ti стремились к нулю. Предположим для простоты, что наша система состоит из одной частицы, совершающей одномерное движение. В этом случае действие запишется в виде суммы
S=
S[x
i+1
,t
i+1
;x
i
,t
i
]
,
i
(7.114)
где
S[x
i+1
,t
i+1
;x
i
,t
i
]
=
ti+1
ti
L
[
x(t),
x(t)
]
dt
.
(7.115)
Интеграл в этом выражении взят вдоль некоторой классической траектории между точками xi=x(ti) и xi+1=x(ti+1). Следовательно, в случае нашего одномерного примера можно с достаточной точностью записать
S[x
i+1
,t
i+1
;x
i
,t
i
]
=
m
2
xi+1– xi
ti+1– ti
^2
–
V(x
i+1
)
(t
i+1
– t
i
)
.
(7.116)
Константа нормировки для интеграла по dxi в момент времени ti будет такой же, как и ранее,
A
=
2hi(ti+1– ti)
m
1/2
.
(7.117)
Выясним теперь связь гамильтониана H с изменением состояния при небольшой вариации времени. Рассмотрим для этого состояние (t), определённое в пространственно-временно'й области R. Представим себе, что в тот же самый момент времени t мы рассматриваем другое состояние (t), определённое в области R. Пусть область R пространственно совпадает с R, но относится к более раннему моменту времени, сдвинутому в прошлое на интервал . Все устройства, необходимые для локализации системы в области R, совершенно тождественны тем, которые локализуют систему в области R, но начинают действовать на интервал времени t= раньше. Если лагранжиан L явно зависит от времени, то на нем также скажется этот сдвиг, т.е. состояние , соответствующее L, будет таким же, как и состояние , с той лишь разницей, что при написании L мы пользуемся в качестве времени переменной t+.
Зададим теперь вопрос: чем состояние отличается от состояния ? При любых измерениях вероятность пребывания системы в любой конкретной области R' зависит от того, какая из двух областей (R или R) была принята за исходную. Определим изменение амплитуды перехода |1| вызываемое сдвигом во времени. Этот сдвиг можно рассматривать как смещение, которое происходит благодаря уменьшению всех значений ti, у которых i<=k, на величину ; если же i>k, то все ti сохраняются.
Читателю, который заглянет несколько вперёд, может показаться, что мы намеренно создаём для себя трудности. Ясно, что все наши усилия в конце концов должны свестись к тому, чтобы перейти к пределу, устремив к нулю все отрезки нашего разбиения оси времени. Однако здесь следует указать наконец, что, во всяком случае, один из интервалов tk+1– tk имеет нижнюю границу и не может быть бесконечно уменьшаем. Эту трудность удаётся обойти, если предположить, что временно'й сдвиг сам должен быть функцией времени. Можно представить себе, что эта величина монотонно возрастает до момента t=tk, а потом монотонно убывает. Тогда, полагая вариацию равномерной, можно монотонно устремить к нулю все интервалы времени, включая и tk+1– tk. Затем рассмотрим эффект первого порядка, перейдя к пределу при ->0. Результат, полученный этим более строгим способом, оказывается в сущности тем же, что и в предыдущем примере.
Возвращаясь теперь к нашему рассмотрению эффекта, вызванного сдвигом времени, мы видим, что определённая соотношением (7.115) функция действия S[xi+1,ti+1;xi,ti] сохраняется до тех пор, пока моменты ti+1 и ti изменяются на одну и ту же величину. С другой стороны, функция S[xk+1,tk+1;xk,tk] переходит в S[xk+1,tk+1;xk,tk– ]. Более того, константа нормировки в интеграле по dxi также изменится и будет иметь вид