Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
A
i
=
2hi(tk+1– tk+)
m
1/2
.
(7.118)
Для определения амплитуды вероятности перехода применим соотношение (7.2). Вспоминая, что интеграл по траекториям зависит как от функции действия S, так и от константы нормировки A (обе эти величины изменяются при нашем сдвиге времени), можно изменение амплитуды перехода с точностью до первого порядка по записать в виде
|1|
–
|1|
=
S[xk+1,tk+1;xk,tk]
ti
+
+
h
2i(tk+1– tk)
i
h
.
(7.119)
Второй
H
i
=
S[xk+1,tk+1;xk,tk]
tk
+
h
2i(tk+1– tk)
.
(7.120)
Первый член в правой части последнего выражения совпадает с определением классического гамильтониана. Второй член необходим для того, чтобы в квантовомеханичёском случае величина Hk оставалась конечной при стремлении интервала tk+1– tk к нулю. Этот член получается вследствие изменения константы нормировки A, обусловленного сдвигом времени .
Применяя полученный результат к частному случаю одномерного движения [см. выражение (7.116)], можно записать
H
k
=
m
2
xk+1– xk
tk+1– tk
^2
+
h
2i(tk+1– tk)
+
V(x
k+1
)
=
=
m
2
xk+1– xk
tk+1– tk
xk– xk-1
tk– tk-1
+
V(x
k
)
.
(7.121)
Второе из этих соотношений получено с учётом равенства (7.54). Записав произведение скоростей в виде произведения их значений, относящихся к последовательным моментам, мы можем устранить член h/[2i(tk+1– tk)].
Полагая теперь, что t=t- для всех t<tk, получаем соотношение
(t)
=
(t
)
+
t
=
+
t
,
(7.122)
связывающее
|1|
t
=
1
h
|
H
k
|
,
(7.123)
что снова приводит нас к уравнению Шрёдингера
h
i
t
=
H
.
Для любых сколь угодно сложных функций действия можно найти выражение гамильтониана (т.е. функционал, соответствующий энергии), если рассмотреть изменения матричных элементов перехода |1| с точностью до величин первого порядка по , когда все моменты, предшествующие моменту t, сдвинуты на величину t=-, и записать эти изменения как |H(t)|.
Глава 8
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
Задача о гармоническом осцилляторе — это, вероятно, простейшая задача в квантовой механике. Мы вполне можем решить её, заметив, что ядро, описывающее движение гармонического осциллятора (см. задачу 3.8), равно
K(x
b
,T;x
a
,0)
=
m
2ih sin T
1/2
x
xexp
im
2h sin T
[x
2
a
+x
2
b
)
cos T
–
2x
a
x
b
]
.
(8.1)
Однако для полного рассмотрения этой задачи нам необходимо решить — точно или приближённо — все задачи, в которые так или иначе входят гармонические осцилляторы. В этой главе будет разобран ряд таких задач как об отдельных осцилляторах, так и о системах взаимодействующих гармонических осцилляторов. Можно было бы довести эту программу до конца, рассмотрев практически все виды классических задач на колебания: задачи о колебании пластинок, стержней и т. д., но таких систем слишком много, и мы рискуем потратить все наше время, так и не коснувшись квантовомеханических проблем. Поэтому займёмся рассмотрением лишь систем атомных размеров: например, проанализируем колебания молекулы CO2. Тут мы обнаружим, в частности, что потенциальная энергия взаимодействия между атомами углерода и кислорода не описывается квадратичной функцией. И все же для более низких энергетических состояний потенциал так близок к квадратичному, что рассмотрение, проведённое на основе модели гармонического осциллятора, послужит хорошим приближением для решения многих задач.
В многоатомной молекуле, которая во много раз сложнее одноатомной, энергия возбуждения будет уже не так велика, а перемещения атомов малы по сравнению с размерами самих молекул. В этом случае снова можно считать, что потенциальная энергия очень близка к квадратичной функции координат. Поэтому такая система будет приблизительно соответствовать набору связанных гармонических осцилляторов. Кристалл твёрдого тела можно, с одной стороны, рассматривать как многоатомную молекулу очень больших размеров; с другой стороны, его можно рассматривать так же, как некую совокупность взаимодействующих друг с другом гармонических осцилляторов.