Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
– 2iT
)
1/2
x
x
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
1+e2iT
1-e2iT
–
4x1x2e– iT
1-e2iT
.
(8.12)
Ряд,
E
n
=
h
n+
1
2
,
(8.13)
Однако для того, чтобы найти волновые функции, необходимо выполнить разложение полностью. Проиллюстрируем этот метод решения на примере n=2. Разлагая левую часть равенства (8.10) до членов указанного порядка, получаем
m
h
1/2
e
– (iT/2)
1+
1
2
e
– 2iT
+…
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
–
–
m
h
(x
2
1
+x
2
2
)
(
e
– 2iT
+…
)
+
2m
h
x
1
x
2
e
– iT
+…
(8.14)
или
m
h
1/2
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
e
– iT/2
1+
1
2
e
– 2iT
x
x
1+
2m
h
x
1
x
2
e
– iT
+
4m^2^2
2h^2
x
2
1
x
2
2
e
– 2iT
–
–
m
h
(x
2
1
+x
2
2
)
e
– 2iT
…
.
(8.15)
Теперь мы можем выделить коэффициент при члене низшего порядка. Он равен
m
h
1/2
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
e
– (iT/2)
=
e
– (i/h)E0T
0
(x
2
)
*
0
(x
1
)
(8.16)
Это
0
(x)
=
m
h
1/4
e
– (mx^2/2h)
.
(8.17)
Мы выбрали в качестве 0 действительную функцию. Можно было бы выбрать и комплексную функцию, включив множитель ei (где константа), однако это не даст ничего нового для физической интерпретации результата.
Член следующего порядка в разложении равен
e
– iT/2
e
– iT
m
h
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
2m
h
x
1
x
2
=
=
e
– (i/h)E1T
1
(x
2
)
*
1
(x
1
)
.
(8.18)
Отсюда следует, что E1=3/2h и
1
(x)
=
2m
h
x
0
(x)
.
(8.19)
Следующий член соответствует энергии E2=5/2h. Его часть, зависящая от x1 и x2, равна
m
h
1/2
exp
–
m
2h
(x
2
1
+x
2
2
)
2m^2^2
h^2
x
2
1
x
2
2
–
m
h
(x
2
1
+x
2