Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
В качестве ещё одного примера рассмотрим электромагнитное поле в ограниченном объёме. С классической точки зрения его можно представлять себе как набор стоячих волн, которые образуются при колебаниях поля с определёнными частотами. В квантовой механике каждая из таких волн задаёт квантовый осциллятор.
§ 1. Простой гармонический осциллятор
Решение уравнения Шрёдингера. В этом параграфе мы получим ряд соотношений, описывающих простой одномерный гармонический осциллятор. Начнём наше рассмотрение с уравнения Шрёдингера. В задаче 2.2 мы получили лагранжиан одномерного гармонического осциллятора в виде
L
=
m
2
(x^2-^2x^2)
.
(8.2)
Соответствующий
H
=
p^2
2m
+
m
2
^2x^2
,
(8.3)
и можно написать волновое уравнение
–
h
i
t
=
H
=
p^2
2m
+
m
2
^2x^2
.
(8.4)
Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то переменные в волновом уравнении легко разделяются и мы получаем решение в виде стоячих волн для состояний с определёнными энергиями En. Часть решения, зависящая от времени, будет пропорциональна exp(iEnt/h).
Вспомнив, что оператор импульса p соответствует дифференцированию по x (см. § 5 гл. 7), представим уравнение Шрёдингера для пространственной части волновой функции в виде
H
n
=
h^2
2m
^2n
x^2
+
m^2x^2
2
n
=
E
n
n
.
(8.5)
Это уравнение легко решить; результат такого решения приводится во многих книгах по квантовой механике (например, [2]). Собственные значения энергии здесь равны
E
n
=
h
n+
1
2
,
(8.6)
где n принимает целые значения 0, 1, 2, .... Собственные функции n имеют вид
n
=
(2
n
n!)
m
h
1/4
H
n
x
m
h
1/2
e
– mx2/2h
,
(8.7)
где Hn полиномы Эрмита
H
0
(y)
=1,
H
1
(y)
=2y,
H
2
(y)
=4y
2
– 2,
. . . . . . . . . .
H
n
(y)
=
(-1)
n
e
y2
dn
dyn
e
– y2
.
(8.8)
Эти
e
– t2+2ty
=
n=0
H
n
(y)
tn
n!
.
(8.9)
Все эти результаты можно было бы получить и другим путём. Так, например, функции n мы нашли при решении дифференциального уравнения в частном случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Однако нам уже известно решение и для случая с временно'й зависимостью; отсюда можно получить и эти функции непосредственным образом. Было бы весьма поучительно провести такой вывод, с тем чтобы проиллюстрировать некоторые из формул, выведенных в предыдущих главах.
Решение, полученное из рассмотрения ядра. В задаче 3.8 мы получили ядро, описывающее движение осциллятора; с другой стороны, из уравнения (4.59) известно, что это ядро может быть разложено в ряд по экспонентам, зависящим от времени и умноженным на произведения собственных функций от энергии, т.е.
m
2ih sin T
1/2
exp
im
2h sin T
[
(x
2
1
+x
2
2
)
cos T
–
2x
1
x
2
]
=
=
n=0
e
– (i/h)EnT
n
(x
2
)
*
n
(x
1
)
.
(8.10)
Используя соотношения
i sin T
=
1
2
e
iT
(1-e
– 2iT
)
,
cos T
=
1
2
e
iT
(1+e
– 2iT
)
,
(8.11)
левую часть равенства (8.10) можно записать как
m
h
1/2
e
– (iT/2)
(1-e