Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир

Дойч Дэвид

Бесконечность, размеры которой позволяют поставить ее во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, называется счетной – термин достаточно неудачный, потому что в реальности досчитать до бесконечности никто не сможет. Но он подразумевает, что в принципе до каждого элемента счетного бесконечного множества можно дойти, если считать элементы в некотором подходящем порядке. Бесконечности большего размера называются несчетными. Таким образом, между любыми двумя отдельными точками содержится несчетное бесконечное множество действительных чисел. Более того, существует несчетное множество порядков бесконечности, каждый из которых слишком велик, чтобы

его можно было поставить во взаимно однозначное соответствие с более низкими порядками.

Еще одно важное несчетное множество – множество всех логически возможных перераспределений постояльцев по номерам в отеле «Бесконечность» (или, как говорят математики, множество всех возможных перестановок натуральных чисел). Это можно легко показать, если взять любое перераспределение, заданное бесконечно длинной таблицей, например, такой.

Теперь представим, что все возможные перераспределения идут списком друг под другом, так что мы можем подсчитать количество строк. Если применить к этому списку диагональный метод, то окажется, что такой список невозможен, а значит, множество всех возможных перераспределений несчетно.

Поскольку администраторам отеля «Бесконечность» приходится задавать перераспределение в виде публичного объявления, оно должно состоять из конечной последовательности слов, то есть конечной последовательности символов из какого-либо алфавита. Множество таких последовательностей счетно, поэтому оно бесконечно меньше, чем множество возможных перераспределений. А значит, задать можно только бесконечно малую часть всех логически возможных перераспределений. Это замечательное в своем роде ограничение очевидно неограниченных возможностей администраторов отеля «Бесконечность» по перетасовке постояльцев! Получается, что почти все способы, которыми на уровне логики можно было бы перераспределить людей по номерам, недоступны.

В отеле «Бесконечность» – уникальная, самодостаточная система сбора отходов и избавления от них. Каждый день постояльцев сначала перераспределяют так, чтобы все комнаты были заняты. Затем дается следующее объявление: «Просим всех в течение следующей минуты собрать мусор в мешок и передать его жильцу из следующего по порядку номера. Если в течение этой минуты вы получите мешок, за следующие 30 секунд передайте его дальше. Если за эти 30 секунд вы получите мешок, передайте его дальше в течение следующих 15 секунд и так далее». Чтобы выполнить такую просьбу, постояльцам нужно делать все быстро, но передавать мешки бесконечно быстро никому не придется, как не придется иметь дело и с бесконечно большим числом мешков. Каждый человек произведет конечное число действий, как и предписывают правила отеля. Всякая передача мусора прекратится уже через две минуты. Таким образом, по истечении этого времени ни у кого из постояльцев мусора не останется.

Весь собранный в отеле мусор из Вселенной исчезает. Исчезает в никуда. Но никто его в это «никуда» не транспортирует: каждый постоялец просто передает часть мусора в другой номер. Это «никуда», в которое исчез весь мусор, в физике называется сингулярностью. Сингулярности встречаются и в реальной жизни – в черных дырах и кое-где еще. Но не будем отвлекаться: сейчас мы говорим о математике, а не о физике.

В отеле «Бесконечность», безусловно, бесконечно много персонала. Каждым постояльцем должны заниматься несколько служащих. Они приравниваются к постояльцам отеля, они также живут в пронумерованных комнатах и получают те же услуги, что и всякий

другой постоялец, включая приписанных к ним служащих. В то же время они не могут просить этих служащих выполнять работу за себя, ведь, если все они сделают это, отель просто перестанет работать. В бесконечности нет ничего магического. В ней установлены логические правила: в этом и есть вся суть мысленного эксперимента с отелем «Бесконечность».

Порочная идея возможности переложить свою работу на других служащих из комнат с б'oльшими номерами называется бесконечным регрессом. И это одна из тех вещей, которые на законных основаниях с бесконечностью делать нельзя. Есть старая шутка об одном любителе каверзных вопросов, который на лекции по астрофизике перебил лектора, чтобы настоять на том, что Земля плоская и стоит на слонах, которые в свою очередь стоят на огромной черепахе. «А на чем стоит черепаха?» – спросил его лектор. «На другой черепахе». – «А она на чем?» «Вы меня не проведете, – торжествующе заявил слушатель. – Там и дальше стоят черепахи – друг на друге». Эта теория плохо объясняет явление, но не потому, что она не может объяснить все (это не под силу ни одной теории), а потому, что необъясненным остается по сути как раз то, что первоначально предполагалось объяснить. (Другим примером бесконечного регресса может служить теория о том, что того, кто задумал биосферу, тоже кто-то задумал, и так до бесконечности.)

Однажды в отеле «Бесконечность» в мешок с мусором залезает щенок одного из постояльцев. Хозяин этого не замечает и передает мешок с щенком в следующий номер.

Через две минуты щенок пропадает в никуда. Его хозяин в панике звонит администратору. Тот по системе оповещения объявляет: «Приносим свои извинения. В один из мешков с мусором случайно попал ценный предмет. Просим всех постояльцев проделать действия по удалению мусора в обратном порядке, как только вы получите мешок из номера, следующего по порядку за вашим».

Но все бесполезно. Никто мешки не возвращает, потому что соседи из следующих по порядку номеров тоже ничего не возвращают. Мешки действительно уходят в никуда, это было не преувеличение. Их не складывали в вымышленном «номере бесконечность». Их больше нет, и щенка тоже нет. Никто ему ничего не сделал, его просто передавали из номера в номер. Но ни в одном номере его нет. Его нет нигде в отеле и вообще нигде. Если в конечной гостинице перемещать предмет из одного номера в другой в любой сложной последовательности, в итоге он окажется в каком-нибудь из них. Но когда номеров бесконечно много, это не так. Каждое отдельное действие каждого постояльца было безвредно для щенка и абсолютно обратимо. Но все они вместе привели к его исчезновению, и вернуть ничего уже нельзя.

Обращение действий не поможет, потому что – если бы оно сработало – нельзя было бы объяснить, почему в номер хозяина передали именно щенка, а не котенка. Конечно, если щенок возвратился, это можно объяснить тем, что его передали из следующего по порядку номера и так далее. Но вся эта бесконечная последовательность объяснений никогда не сможет объяснить, «почему именно щенок»? Это ведь тоже бесконечный регресс.

А что если однажды щенок все-таки окажется в номере 1, пройдя обратным путем через все номера? Это событие не является логически невозможным: этому просто не будет объяснения. В физике такое «нигде», откуда возвратился бы щенок, называется «голой сингулярностью». Голые сингулярности встречаются в некоторых спекулятивных теориях в физике, но эти теории заслуженно подвергаются критике за то, что не позволяют ничего предсказать. Как сказал однажды Хокинг, «из [голой сингулярности] могли бы появляться и телевизоры». Все было бы иначе, будь у нас закон природы, определяющий то, что возникает, ведь в этом случае не было бы бесконечного регресса, а сингулярность не была бы «голой». Большой взрыв мог быть сингулярностью такого относительно благоприятного типа.