Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир

Дойч Дэвид

Но такое объяснение – это химера. Это бесконечный регресс. Ведь оно ведет к отказу от объяснений в науке. В самой природе вычислительной универсальности заложено, что, если мы и наш мир состояли бы из программного обеспечения, у нас не было бы возможности понять настоящую физику – физику, на основе которой построен «Великий симулятор».

Другой способ поставить вычисления в центр физики и справиться с неоднозначностями антропных рассуждений – это представить, что все возможные компьютерные программы уже запущены. То, что мы воспринимаем как реальность, на самом деле виртуальная реальность, созданная одной или несколькими такими программами. Затем мы определим понятия «обычный» и «необычный» в терминах среднего по всем этим программам, считая их в порядке их длины (количества элементарных операций в каждой из них). Но здесь снова подразумевается, что есть предпочтительное

представление о том, что такое «элементарная операция». Поскольку длина и сложность программы полностью зависят от законов физики, эта теория снова требует внешнего мира, в котором работают эти компьютеры, – мира, который был бы для нас непостижимым.

Оба эти подхода терпят неудачу, потому что они пытаются обратить направление реальной объяснительной связи между физикой и вычислениями. Они кажутся возможными лишь потому, что опираются на стандартную ошибку Зенона, но применительно к вычислениям: заблуждение о том, что множество классически вычислимых функций имеет в математике априорно привилегированный статус. Но это не так. Единственное, что как-то выделяет данное множество операций, – это то, что они воплощаются законами физики. Вся суть универсальности теряется, если представить, что вычисления каким-то образом предшествовали физическому миру и создавали его законы. Вычислительная универсальность относится только к компьютерам внутри нашего физического мира, которые связаны друг с другом по универсальным законам физики, к которым мы (таким образом) имеем доступ.

Но как все эти сильные ограничения на то, что мы можем знать и что может быть достигнуто с помощью математики и вычислений, включая существование в математике неразрешимых вопросов, уживаются с принципом, гласящим, что проблемы можно решить?

Проблемы – это конфликты идей. Большая часть математических вопросов, которые существуют абстрактно, никогда появляются в качестве предмета такого конфликта: они никогда не бывают предметом любопытства или центром конфликтующих заблуждений о какой-либо черте мира абстракций. Одним словом, большинство их них просто неинтересны.

Кроме того, напомню, что поиск доказательств не есть цель математики, это просто один из ее методов. Цель ее в том, чтобы понять, а общий метод, как и во всех областях, – составлять гипотезы и критиковать их, исходя из того, насколько разумны они в качестве объяснений. Нельзя понять математическое утверждение, просто доказав, что оно истинно. Вот почему существуют лекции по математике, а не просто списки доказательств. И наоборот, отсутствие доказательства не обязательно означает, что утверждение нельзя понять. Напротив, обычно математик сначала понимает что-то в рассматриваемой абстракции, затем на основе этого понимания выдвигает предположение, как можно было бы доказать истинные утверждения о ней, и лишь потом их доказывает.

Можно доказать математическую теорему, но она так и не вызовет ни у кого интереса. А недоказанная математическая гипотеза может оказаться весьма плодоносной, порождая множество объяснений, даже если она столетиями будет оставаться недоказанной или даже если ее вообще нельзя доказать. Примером такой гипотезы может служить проблема, известная в информатике как «P /= NP». Грубо говоря, она заключается в том, что существуют классы математических вопросов, ответы на которые, будь они откуда-то получены, можно эффективно проверить с помощью универсального (классического) компьютера, но нельзя эффективным образом вычислить. (У «эффективных» вычислений есть техническое определение, которое примерно соответствует тому, что мы имеем в виду под этой фразой на практике.) Практически все исследователи, работающие в области вычислительной теории, убеждены в том, что это предположение верно (что еще раз опровергает идею о том, что математические знания состоят только из доказательств). Хотя его доказательство и неизвестно, существуют достаточно разумные объяснения того, почему следует ожидать, что это утверждение истинно, а объяснений в пользу противоположного исхода нет. (И поэтому считается, что то же самое верно и для квантовых компьютеров.)

Более того, на этой гипотезе строится огромное количество математических знаний одновременно и полезных, и интересных. Сюда входят теоремы вида «если гипотеза верна, то из нее следует вот такой интересный факт». Теорем о том, что было бы, будь гипотеза неверна, меньше, но они тоже представляют интерес.

Математик, изучающий неразрешимую задачу, может доказать, что она неразрешима (и объяснить почему).

С точки зрения математика, это будет успех. Хотя решения математической задачи и не будет найдено, решена будет проблема, стоявшая перед математиком. Даже работать над математической задачей без достижения успеха такого рода – уже не то же самое, что потерпеть неудачу в создании знания. Каждая попытка решить математическую задачу и неудача в этом всегда приводит к теореме (и обычно также к объяснению) о том, почему этот подход к решению не срабатывает.

А значит, неразрешимость противоречит максиме о том, что проблемы можно решить, не больше, чем тот факт, что существуют истины о физическом мире, о которых мы никогда не узнаем. Я думаю, что однажды в нашем распоряжении будут технологии, которые позволят подсчитать точное число песчинок на Земле, но я сомневаюсь, что мы когда-нибудь узнаем, сколько точно их было во времена Архимеда. В самом деле, я уже говорил о более сильных ограничениях на то, что мы можем узнать и чего можем достичь. Есть прямые ограничения, наложенные универсальными законами физики: нельзя превысить скорость света и так далее. Есть ограничения эпистемологии: мы можем создавать знания только путем подверженного ошибкам метода выдвижения гипотез и их критики; ошибки неизбежны, и только процессы, допускающие исправление ошибок, приведут к успеху или смогут длиться долго. Ничто из этого не противоречит упомянутой максиме, потому что ни одно из этих ограничений вовсе не обязано приводить к неразрешимому конфликту объяснений.

Таким образом, я предполагаю, что в математике, так же как в науке и в философии, если вопрос представляет интерес, то проблему можно решить. Согласно фаллибилизму мы можем заблуждаться относительно того, что интересно. Поэтому из данной гипотезы вытекают три следствия. Первое заключается в том, что принципиально неразрешимые задачи также принципиально неинтересны. Второе – в том, что в конечном счете различие между интересным и скучным – это не вопрос субъективного вкуса, а объективный факт. А третье следствие говорит, что интересная проблема, состоящая в том, почему любая интересная проблема разрешима, и сама разрешима. На настоящий момент мы не знаем, почему кажется, что законы физики тонко настроены; мы не знаем, почему существуют различные формы универсальности (хотя нам известно о многих связях между ними); мы не знаем, почему устройство мира поддается объяснению. Но в конце концов мы все это узнаем. И когда это случится, то останется еще бесконечно много явлений, требующих объяснения.

Самое важное из всех ограничений на создание знаний – это то, что мы не пророки: мы не можем предсказывать содержание и последствия идей, которые еще только предстоит создать. Это ограничение не только согласуется с безграничным ростом знаний, но и следует из него, как я объясню в следующей главе.

То, что проблемы разрешимы, не означает, что мы уже знаем их решения или можем сформировать, когда они потребуются. Это было бы сродни креационизму. Биолог Питер Медавар [51] описывал науку как «искусство разрешимого», но то же самое применимо и ко всем формам знания. Творческое мышление любого типа включают в себя оценку того, какие подходы могут сработать, а какие нет. Заинтересоваться определенной задачей или подзадачей или потерять к ней интерес – часть творческого процесса, которая сама по себе составляет процесс решения проблем. Таким образом, «разрешимость проблем» не зависит от того, можно ли ответить на любой заданный вопрос вообще или может ли на него ответить конкретный мыслитель в конкретный день. Но если бы когда-нибудь прогресс зависел от необходимости нарушить закон физики, максима «проблемы можно решить» оказалась бы ложной.

51

Питер Брайан Медавар (1915–1987) – британский биолог, член Королевского общества, лауреат Нобелевской премии по медицине и физиологии 1960 года.

Терминология

Взаимно однозначное соответствие – правило, по которому каждый элемент одного множества сопоставляется с определенным элементом другого множества.

Бесконечное (с математической точки зрения) – множество бесконечно, если существует взаимно однозначное соответствие между ним и его частью.

Бесконечное (с физической точки зрения) – достаточно расплывчатое понятие, означающее что-то вроде «больше, чем что-либо, что можно испытать на опыте в принципе».