Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир
Шрифт:
Но если бы законы физики на самом деле были не такими, какими мы их сейчас считаем, то это могло бы сказаться и на множестве математических истин, которые мы тогда смогли бы доказать, и на операциях, доступных для использования в доказательстве. Законы физики в том виде, в котором они нам известны, придают особый статус таким операциям, как не, и и или, проводимым над отдельными битами информации (двоичными знаками или логическими значениями истина/ложь). Поэтому эти операции кажутся нам естественными, элементарными и конечными, так же, как и биты. При таких законах физики, как, скажем, в отеле «Бесконечность», существовали бы дополнительные привилегированные операции, действующие над бесконечными множествами битов. При каких-нибудь еще законах физики операции не, и и или были бы невычислимы, а некоторые из наших
Это подводит меня к еще одному противопоставлению, которое зависит от законов физики: простое и сложное. Мозг – это физический объект. Мысли – это вычисления таких типов, которые допускаются законами физики. Некоторые объяснения схватываются легко и быстро, как, например: «Если Сократ был мужчиной и Платон был мужчиной, то они оба были мужчинами». Оно простое, потому что выражено коротким предложением и опирается на свойства элементарной операции (а именно и). Есть объяснения, суть которых принципиально трудно ухватить, потому что даже в самой короткой своей форме они длинные и зависят от множества таких операций. Но будет ли объяснение длинным или коротким, потребуется ли для его составления много или мало элементарных операций – все это полностью определяется законами физики, при которых оно формулируется и понимается.
Оказывается, в квантовых вычислениях, которые сегодня считаются полностью универсальной формой вычислений, точно такой же набор вычислимых функций, что и в классических вычислениях Тьюринга. Но квантовые вычисления находят лазейку в классическом понятии «простой» или «элементарной» операции. За счет этого упрощаются некоторые интуитивно очень сложные вещи. Более того, понятие кубита (квантового бита), элементарного носителя информации в квантовых вычислениях, довольно трудно объяснить без использования квантовой терминологии. Зато бит представляется весьма сложным объектом с точки зрения квантовой физики.
Раз так, говорят некоторые, квантовые вычисления – не «настоящие» вычисления, а просто физика и техника. Они считают, что логические возможности, связанные с экзотическими законами физики, допускающими экзотические формы вычислений, не решают вопрос о том, что же такое доказательство «на самом деле». Свои возражения они высказывают примерно так: действительно, при подходящих законах физики мы смогли бы вычислить функции, не вычислимые по Тьюрингу, но это были бы не вычисления. Мы смогли бы установить истинность или ложность неразрешимых по Тьюрингу предложений, но это «установление» не было бы доказательством, потому что тогда наше знание о том, является ли предложение истинным или ложным, всегда зависело бы от наших знаний о том, что представляют собой законы физики. Если бы однажды мы обнаружили, что на самом деле законы физики другие, нам бы, возможно, пришлось пересмотреть и само доказательство и его вывод. Поэтому оно не было бы настоящим: настоящее доказательство не зависит от физики.
И снова мы видим то же самое заблуждение (а также своего рода джастификационизм, гонящийся за авторитетами). Наше знание о том, истинно или ложно высказывание, всегда зависит от знания о том, как ведут себя физические объекты. Если бы мы изменили свой взгляд на то, что делает компьютер или мозг, – например, решили бы, что наша собственная память ошибается в том, какие шаги в доказательстве мы проверили, – то нам пришлось бы изменить свое мнение о том, доказали ли мы что-то или нет. И так же было бы в том случае, если бы мы изменили мнение о том, как согласно законам физики должен работать компьютер.
Верно математическое высказывание или нет, действительно не зависит от физики. Но его доказательство – дело только физики. Невозможно что-то абстрактно доказать, как невозможно и что-то абстрактно знать. Математическая истина – вещь абсолютно необходимая и трансцендентная, но все знания создаются в ходе физических процессов, а их объем и ограничения обусловлены законами природы. Можно определить класс абстрактных сущностей и назвать их доказательствами (или вычислениями) точно так же, как определить иные абстрактные сущности и назвать их треугольниками и заставить подчиняться законам евклидовой геометрии. Но нельзя вывести из этой «теории треугольников» некое представление о том, на какой угол вы повернетесь, если обойдете замкнутый контур, состоящий из трех прямых линий. Точно так же такие «доказательства» не позволят проверить истинность математических утверждений. Математическая «теория доказательств» не имеет отношения к тому, какие истины можно, а какие нельзя доказать или знать в реальности; аналогично теория абстрактных «вычислений» не имеет отношения к тому, что можно, а что нельзя в реальности вычислить.
Таким образом, вычисление или доказательство – это физический процесс, в котором такие объекты, как компьютер или мозг, физически моделируют или воплощают абстрактные сущности, как, например, числа или уравнения,
Как следствие, достоверность наших знаний о математике всегда будет проистекать из достоверности знаний о физической действительности. Корректность любого математического доказательства полностью зависит от правильности наших представлений относительно законов, определяющих поведение некоторых физических объектов, таких как компьютеры, чернила и бумага или мозг. Таким образом, в противовес тому, что считал Гильберт, и тому, во что со времен античности верили и верят до сих пор почти все математики, теория доказательств никогда не станет направлением математики. Теория доказательств – это естественная наука, а конкретно информатика [49] .
49
В оригинале: computer science. – Прим. ред.
Вся мотивация поисков идеально надежного фундамента для математики была ошибочной. Это был своего рода джастификационизм. Математику характеризуется тем, как в ней используются доказательства, равно как естественная наука – тем, как в ней используется экспериментальная проверка; но в обоих случаях ни то, ни другое не является целью исследования. Цель математики – понять, то есть объяснить, абстрактные сущности. Доказательство – это главным образом средство для исключения ложных объяснений, а иногда оно также обнаруживает математические истины, требующие объяснения. Но, как и все области, в которых возможен прогресс, математика ищет не случайные истины, а разумные объяснения.
Итак, вот три тесно связанных между собой подхода, в рамках которых законы физики кажутся тонко настроенными: все они могут быть выражены через единый, конечный набор элементарных операций; они единым образом проводят различие между конечными и бесконечными операциями; все их предсказания могут быть вычислены одним физическим объектом, а именно универсальным классическим компьютером (хотя для эффективного моделирования физических процессов, вообще говоря, требуется квантовый компьютер). А все потому, что законы физики поддерживают вычислительную универсальность, заключающуюся в том, что человеческий мозг может предсказывать и объяснять поведение очень далеких от человека объектов, вроде квазаров. И та же самая универсальность позволяет таким математикам, как Гильберт, выстраивать интуитивную основу доказательства и ошибочно полагать, что оно не зависит от физики. Но этой независимости нет: это скорее универсальность в рамках той физики, которая управляет нашим миром. Если бы физика квазаров была похожа на физику отеля «Бесконечность» и зависела от функций, которые мы называем невычислимыми, то мы не смогли бы что-либо предсказать о них (если бы только не смогли построить компьютеры из квазаров или других объектов, опирающихся на соответствующие законы физики). При немного более экзотических, чем эти, законах физики мы бы не смогли ничего объяснить, а значит, не могли бы существовать.
Таким образом, нечто особенное – похоже, бесконечно особенное – содержится в законах физики, какими мы их находим, делающее их исключительно благоприятными для вычислений, предсказаний и объяснений. Физик Юджин Вигнер [50] называл это «непостижимой эффективностью математики в естественных науках». По приведенным мною причинам этого не объяснить одними только антропными рассуждениями. Нужно что-то еще.
Эта проблема, похоже, просто притягивает к себе неразумные объяснения. Так же, как религиозные люди считают, как правило, что непостижимая эффективность математики в науке – заслуга Провидения, некоторые эволюционисты усматривают в ней знак эволюции, а некоторые космологи – результат антропного отбора, а некоторые ученые, занимающиеся информатикой, и программисты видят в небе огромный компьютер. Например, одна из версий этой идеи состоит в том, что все, обычно воспринимаемое нами как действительность, – это просто виртуальная реальность: программа, запущенная на гигантском компьютере, «Великом симуляторе». На первый взгляд кажется, что это перспективный подход к объяснению связей между физикой и вычислениями: возможно, причина выразимости законов физики в компьютерных программах состоит в том, что они и есть компьютерные программы. Быть может, существование вычислительной универсальности в нашем мире – это частный случай способности компьютеров (в данном случае «Великого симулятора») эмулировать другие компьютеры и так далее.
50
Юджин Вигнер (1902–1995) – американский физик и математик венгерского происхождения, лауреат Нобелевской премии по физике за 1963 год. Знаменит своими работами по симметриям в квантовой механике. – Прим. ред.