Объясняя мир. Истоки современной науки
Шрифт:
Как и многое другое, экспериментальное изучение механики движения началось с Галилея. Его выводы о движении появились в труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук», законченном в 1635 г., когда Галилей находился под домашним арестом на своей вилле в Арчетри. Получить официальное разрешение на публикацию книги было бы невозможно, поэтому рукопись была тайно вывезена из Италии и в 1638 г. напечатана в протестантском университетском городе Лейдене издательством Людвика Элзевира. Персонажами «Бесед о двух новых науках» оставались все те же Сальвиати, Симпличио и Сагредо, которые исполняли прежние роли.
Среди многих других положений первый день (глава) «Бесед о двух новых науках» содержит мысль о том, что и тяжелые, и легкие тела падают одинаково, что противоречит доктрине Аристотеля о том, что тяжелые тела падают быстрее легких. Конечно, из-за сопротивления воздуха легкие тела падают немного медленнее тяжелых. В связи с этим вопросом Галилей демонстрирует свое понимание того, что ученому приходится мириться с приближенными значениями, уходя от стремления древних греков к точности, основанной на математической строгости. Сальвиати так объясняет это Симпличио:
«Аристотель говорит: “Железный
217
Галилео Галилей. Беседы и математические доказательства двух новых наук // Избранные труды: в 2 т. Т. 2/Сост. У. И. Франкфурт; пер. С. Я. Долгова. – М.: Наука, 1964. С. 166.
Галилей также доказывает, что воздух имеет положительный вес; оценивает его плотность; обсуждает движение сквозь среду, обладающую сопротивлением; объясняет музыкальную гармонию и сообщает о том, что маятнику требуется одно и то же время для каждого колебания, независимо от размаха колебаний {218} . Десятилетия спустя этот принцип приведет к изобретению часов с маятником и точному измерению ускорения падающих тел.
Второй день содержит рассказ о прочности тел разной формы. На третий день Галилей возвращается к проблеме движения и делает самые интересные заключения. Этот день начинается с перечисления некоторых банальных свойств движения с постоянной скоростью. Затем автор переходит к определению постоянного ускорения, очень близкого тому, которое в XIV в. дали ученые из Мертон-колледжа: скорость возрастает на одни и те же значения за равные промежутки времени. Также Галилей приводит доказательство теоремы о среднем градусе скорости, очень близкое к тому, что дал Орем. При этом Галилео не ссылается ни на Орема, ни на ученых из Мертона. В отличие от своих средневековых предшественников, Галилей не просто рассматривает эти теоремы как описывающие чисто математическую абстракцию, а приходит к заключению, что свободно падающие тела подвергаются постоянному ускорению, однако он не изучает причину этого ускорения.
218
Это справедливо только для малых колебаний маятника, хотя Галилей не упоминал об этом ограничении. Более того, он говорит об изохронизме при отклонениях маятника на 50°–60°, как и при колебаниях с меньшей амплитудой, что говорит о том, что он на самом деле не производил тех экспериментов с маятником, о которых рассказывает.
Как уже было упомянуто в главе 10, в то время была широко распространена альтернативная теория о том, что тела падают с неравномерным ускорением. Согласно этой теории скорость, которую падающие тела приобретают в любой интервал времени, пропорциональна расстоянию, которое эти тела проходят за этот интервал, а не времени {219} . Галилей приводит различные аргументы против этой точки зрения {220} , но окончательный вердикт этим двум различным теориям ускорения падающих тел мог быть вынесен только после экспериментов.
219
Если говорить буквально, это значило, что любое брошенное тело никогда бы не упало, поскольку, обладая нулевой начальной скоростью в первое бесконечно малое мгновение, оно никуда бы не двинулось. А поскольку скорость пропорциональна пройденному расстоянию, она равнялась бы нулю. Возможно, о скорости, пропорциональной пройденному расстоянию, имеет смысл говорить только после короткого первоначального периода ускорения.
220
Один из аргументов Галилея является ошибочным, потому что относится к средней скорости за период времени, а не к скорости, которая достигается в конце интервала.
Если, согласно теореме о среднем градусе скорости, что-то равномерно ускоряется от нуля до определенной скорости, пройденное расстояние равно половине его конечной скорости, умноженной на затраченное время, а эта конечная скорость пропорциональна затраченному времени, то расстояние, пройденное при свободном падении, должно быть пропорционально квадрату времени (см. техническое замечание 25). Именно это положение решил проверить Галилей.
Свободно падающие тела двигаются слишком быстро, чтобы Галилей мог проверить свое заключение, проследив, как быстро тела падают в определенный интервал времени, поэтому он решил замедлить падение, изучая шары, катящиеся по наклонной плоскости. Чтобы доказать применимость опыта к теории, он должен был показать, как движение шаров, катящихся по наклонной плоскости, соотносится с движением тел в свободном падении. Галилей сделал это, отметив, что скорость, которую шар приобретает, скатившись с наклонной плоскости, зависит только от расстояния по вертикали, которое прошел этот шар, а не от угла с плоскостью {221} . Свободно падающий шар можно рассматривать как шар, который катится по плоскости, поставленной вертикально, поэтому, если скорость катящегося по наклонной плоскости шара пропорциональна затраченному времени, то же самое будет верно и для свободно падающего шара. Для плоскости, наклоненной под небольшим углом, скорость, конечно, оказывается намного меньше,
221
Это показано в техническом замечании 25. Там объясняется, что, хотя Галилей об этом и не знал, но скорость шара, катящегося по плоскости, не равна скорости тела, свободно падающего с того же расстояния по вертикали, потому что часть энергии, получаемой от вертикального падения, уходит во вращение шара. Но эти скорости будут пропорциональны, так что заключение Галилея о том, что скорость падающего тела пропорциональна затраченному времени, качественно не изменится, если мы примем во внимание вращение шара.
В «Беседах о двух новых науках» Галилей сообщает, что расстояние, пройденное катящимся шаром, пропорционально квадрату времени. Он проводил эти эксперименты в Падуе в 1603 г. с плоскостью, имеющей наклон к горизонтали менее 2°, разметив ее линиями с интервалами примерно в 1 мм {222} . О равенстве промежутков времени в движении шара Галилей тогда судил, замеряя время по интервалу между звуками, которые издавал шар, пересекая отметки на своем пути. Расстояния отметок от точки старта находились в следующих отношениях: 1^2=1:2^2=4:3^2=9 и т. д. В экспериментах, описанных в «Беседах о двух новых науках», он определял относительные временные интервалы с помощью водяных часов. Современная реконструкция этого эксперимента показывает, что Галилей сумел добиться той точности, о которой заявлял {223} .
222
См.: Stillman Drake, Galileo (Oxford University Press, Oxford, 1980), p. 33.
223
T. B. Settle, An Experiment in the History of Science // Science 133, 19 (1961).
Галилей уже размышлял об ускорении падающих тел в своей работе, о которой мы говорили в главе 11, – «Диалоге о двух главных системах мира». Во второй день этого более раннего диалога Сальвиати заявляет, что расстояние, пройденное падающим телом, пропорционально квадрату времени, но дает достаточно расплывчатое объяснение. Он также упоминает, что пушечное ядро, брошенное с высоты в сто локтей, достигнет земли за пять секунд. Совершенно ясно, что Галилей в действительности не замерял это время {224} , но просто привел иллюстративный пример. Если локоть равен 54 см, то, зная известное сейчас значение ускорения свободного падения, время падения тяжелого тела с высоты 100 локтей должно было составить не 5 секунд, а 3,3 секунды. Но Галилей явно никогда не пытался провести какие-либо серьезные измерения ускорения под действием силы тяжести.
224
Это заключение Дрейка можно найти в примечании к с.259 книги: Galileo Galilei, Dialogue Concerning the Two Chief World Systems: Ptolemaic and Copernican, trans. Stillman Drake (Modern Library, New York, 2001).
Четвертый день «Диалога о двух системах мира» посвящен движению тел, брошенных под углом к горизонту. Идеи Галилея в основном ясны уже из эксперимента {225} , проведенного в 1608 г., который подробно обсуждается в техническом замечании 26. Шар скатывался по наклонной плоскости с разной высоты, затем катился по горизонтальной столешнице, где кончалась наклонная плоскость, и, наконец, срывался с края стола. Когда шар достигал пола, Галилей измерял пройденное расстояние и наблюдал за движением шара в воздухе, после чего сделал выводы, что его траекторией является парабола. Галилей не описывает этот эксперимент в «Беседах о двух новых науках», но приводит теоретическое обоснование того, почему тело движется именно по параболе. Самый важный момент, который стал сущностью механики Ньютона, – это мысль о том, что каждая из компонента движения тела, брошенного под углом к горизонту, определяется соответствующей компонентой силе, независимо от прочих влияний на составные части его движения независимо друг от друга. Когда шар падает с края стола или выстреливается из пушки, ничего, кроме сопротивления воздуха, не влияет на его горизонтальное движение, поэтому пройденное горизонтальное расстояние почти пропорционально времени. С другой стороны, в то же самое время, как и любое свободно падающее тело, движение тела по вертикали происходит с ускорением, поэтому вертикальное расстояние растет пропорционально квадрату затраченного времени. Из этого следует, что увеличение вертикального расстояния пропорционально квадрату пройденного горизонтального расстояния. Какого рода кривую даст это соотношение? Галилей показывает, что траекторией метаемого тела является парабола, используя определение Аполлония, в котором говорится, что парабола является сечением конуса плоскостью, параллельной поверхности конуса (см. техническое замечание 26).
225
См.: Stillman Drake, Galileo at Work – His Scientific Biography (University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1978), pp. 128–32; A. J. Hahn, The Pendulum Swings Again: A Mathematical Reassessment of Galileo's Experiments with Inclined Planes // Archive for the History of the Exact Sciences 56, 339 (2002), с репродукцией на p. 344.
Эксперименты, описанные в «Беседах о двух новых науках», стали исторической точкой разрыва с прошлой научной традицией. Вместо того чтобы ограничиться теоретическим изучением свободного падения, которое Аристотель считал естественным движением, Галилей перешел к искусственно смоделированному движению шаров, катящихся по наклонной плоскости, или метаемых объектов. В этом смысле наклонная плоскость Галилея стала далеким предшественником сегодняшних ускорителей частиц, с помощью которых мы искусственно создаем частицы, которые невозможно обнаружить в природе.