Объясняя мир. Истоки современной науки
Шрифт:
Существует другой способ приближенно сформулировать тот же Второй закон, имеющий близкое отношение к старой идее экванта, которую использовал в своей астрономической системе Птолемей. Вместо того чтобы рассматривать отрезок, проведенный к планете от Солнца, рассмотрим отрезок к ней же из другой точки, а именно из пустого фокуса ее эллиптической орбиты. Эксцентриситет e некоторых орбит планет довольно значителен, и им нельзя пренебрегать. Но его квадрат e^2 очень мал для любой планеты. Например, среди планет самый большой эксцентриситет у орбиты Меркурия, для него e = 0,206, а e^2 = 0,042; для Земли же e^2 = 0,00028. Поэтому при вычислении планетных движений достаточно аппроксимировать реальные их законы уравнениями, в которых присутствуют слагаемые, пропорциональные эксцентриситету e,
На конкретном примере покажем, что если
где O (e^2) – обозначение всех членов, пропорциональных e^2 или степеням e еще более высоких порядков, а R – коэффициент, значение которого зависит от применяемых единиц измерения углов. Если мы меряем углы в градусах, то R = 360°/2 = 57,293…°, то есть угол размером в один радиан. Или мы можем измерять углы в радианах, и тогда R = 1. Второй закон Кеплера гласит, что за одинаковые промежутки времени площадь, заметаемая радиус-вектором планеты, одна и та же. Это значит, что
Что касается описанной Птолемеем теории, центр эпицикла каждой планеты обращается вокруг Земли по круговой орбите, деференту, но Земля находится не в центре деферента. Орбита является эксцентричной, то есть Земля находится в точке, отделенной от центра деферента небольшим расстоянием. Мало того, скорость, с которой центр эпицикла обращается вокруг Земли, не постоянна, и угловая скорость, с которой луч от Земли к этому центру поворачивается, тоже не постоянна. Чтобы детально учесть все особенности наблюдаемого движения планет, Птолемей изобрел понятие экванта. Это точка по другую сторону от центра деферента по отношению к Земле, которая находится на том же расстоянии от центра, что и Земля. Луч, проводимый к центру эпицикла от этого экванта (а не от Земли), и должен был описывать равные углы в одни и те же промежутки времени.
Внимательный читатель уже заметил, что это очень похоже на картину, описываемую законами Кеплера. Конечно, роли Солнца и Земли в астрономических системах мира Птолемея и Коперника противоположны, но пустой фокус эллипса в теории Кеплера играет ту же самую роль, что и эквант в теории Птолемея, а Второй закон Кеплера объясняет, почему введение экванта помогло улучшить теоретические предсказания видимых положений планет по теории Птолемея.
Теперь докажем равенство (1). Определим как угол между большой осью эллипса и отрезком, соединяющим Солнце и планету, и вспомним, что определен как угол между той же большой осью и отрезком, соединяющим планету и пустой фокус. Так же, как в техническом замечании 18, обозначим длины этих отрезков r+ и r– то есть расстояния от Солнца до планеты и от планеты до пустого фокуса орбиты соответственно. Как было показано, они равны
где х – горизонтальная координата точки на эллипсе, то есть расстояние между точкой и прямой, секущей эллипс вдоль его малой оси.
Косинус угла определяется в тригонометрии с использованием прямоугольного треугольника, один из углов
Рис. 15. Орбитальное движение планеты по эллипсу. Орбита планеты вычерчена здесь как эллипс, имеющий эксцентриситет (как и на рис. 12) около 0,8 – значительно больше, чем у какой-либо планеты Солнечной системы. Отрезки, обозначенные r+ и r– , соединяют планету, соответственно, с Солнцем и с противоположным ему, пустым фокусом эллипса.
Уравнение слева мы можем решить, найдя из него x:
Подставляя результат в формулу для cos , выражаем связь между углами и :
Поскольку равенство справедливо при любых значениях угла , изменение в левой части равенства должно быть равно изменению в правой части при любом изменении . Допустим, мы производим бесконечно малое его изменение (дельта тета). Чтобы рассчитать, насколько изменится , прибегнем к правилу дифференциального исчисления, согласно которому изменение любого угла (это может быть или ) на величину (дельта альфа) приводит к изменению cos на величину – (/R) sin . Оттуда же при изменении любой функции f, такой, например, как знаменатель в уравнении (5), на ничтожно малую величину f изменение в отношении 1/f составляет -f/f2. Приравняв соответствующие изменения с обеих сторон равенства, получаем:
Теперь нам нужна формула, связывающая sin и sin . Для этого посмотрим на рис. 15 и обратим внимание, что вертикальная координата y точки на линии эллипса выражается как y = r + sin , а также y = r - sin , и, поделив их, сократив y, получаем:
Совмещая уравнения (7) и (6), имеем:
Итак, какова же площадь, описываемая радиус-вектором планеты, проведенным от Солнца, когда угол изменяется на ? Измеряя углы в градусах, мы можем сказать, что это площадь равнобедренного треугольника, две равные стороны которого имеют длину r+, а третья – маленькая часть дуги общей длиной 2r+ окружности радиусом r+, равная 2r+ x /360°. Она равна
В этой формуле поставлен минус, поскольку мы хотим, чтобы величина A росла, если увеличивается угол ; но если вспомнить, как мы определили эти углы, будет расти в том случае, если уменьшается , поэтому больше нуля, когда меньше нуля. Поэтому уравнение (8) можно переписать в виде:
Принимая, что A и – описываемая первым радиус-вектором площадь и угол поворота второго радиус-вектора за ничтожно малый промежуток времени t, и поделив обе части уравнения (10) на t, найдем соответствие между описываемыми площадями и углами в виде равенства