Объясняя мир. Истоки современной науки
Шрифт:
25. Ускорение под действием силы тяжести
Галилей показал, что падающее дело движется равноускоренно, то есть его скорость увеличивается на одну и ту же величину за одинаковые промежутки времени. Сейчас мы эту закономерность выражаем так: тело, изначально находившееся в покое, спустя время t от момента начала падения приобретет скорость v, пропорциональную t:
где g – константа, которая характеризует поле силы тяжести на поверхности Земли. Хотя g несколько отличается
Согласно теореме о средней скорости расстояние, которое преодолеет такое падающее тело с момента начала падения до t, будет равняться vсредt, где vсред – среднее арифметическое между величиной gt и нулем, то есть vсред = gt/2. Следовательно, расстояние, проходимое за время падения, равно:
В частности, за первую секунду падения тело пролетает g (1 секунда)^2/2 = 4,9 м. Время, которое требуется падающему телу, чтобы пройти заданное расстояние, в общем случае равно:
На полученный результат можно взглянуть с иной, более современной точки зрения. Полная энергия падающего тела равна сумме двух слагаемых: его кинетической и потенциальной энергии. Кинетическая энергия выражается как:
где m – масса тела. Потенциальная энергия – это произведение mg на текущую высоту (измеряемую относительно любого произвольно выбранного уровня). Поэтому если тело сбрасывается с некоторой начальной высоты h0 и проходит в падении расстояние d, то его потенциальная энергия равна:
Значит, учитывая, что d = gt^2/2, полная энергия тела – постоянная величина:
Это правило мы можем обратить и вывести соотношение между скоростью и пройденным расстоянием, беря за основу закон сохранения энергии. Если в нулевой момент времени t = 0, когда v = 0 и h = h0, мы считаем полную энергию E равной mgh0, то согласно закону сохранения энергии в любой момент времени справедливо:
из чего следует, что v^2/2 = gd. Поскольку v – это мера того, как увеличивается d, то, что мы получаем, – это дифференциальное уравнение, определяющее связь между d и t. Конечно, мы уже знаем решение этого уравнения: d = gt^2/2,
Мы увидели элементарный пример использования этого закона, который позволяет разнообразно применять понятие об энергии. В частности, закон сохранения энергии доказывает правильность того, что эксперименты Галилея с шариками, скатывающимися по наклонной плоскости, верно моделируют задачу о свободном падении, хотя сам Галилей не приводил его в качестве аргумента. Для шарика массой m, скатывающегося по наклонной плоскости, кинетическая энергия равна mv^2/2, причем здесь v – скорость движения шарика вдоль плоскости, а потенциальная энергия равняется mgh, где h – текущая высота шарика. Дополнительным слагаемым тут служит энергия вращения шарика, которая выражается таким образом:
где r – радиус шарика, – число полных оборотов катящегося шарика в секунду, а – величина, которая зависит от распределения массы внутри самого шарика и его формы. Применительно к экспериментам Галилея, который, скорее всего, использовал сплошные твердые шары, значение = 2/5 (для пустотелого шара, например, = 2/3). Теперь заметим, что, когда шарик совершает один полный оборот, он проходит расстояние, равное длине его окружности 2r, поэтому в течение времени t, за которое он совершает t оборотов, полное пройденное расстояние составляет d = 2rt, и значит, его скорость равняется d/t = 2r. Подставляя это выражение в формулу энергии вращательного движения, получаем:
Поделив обе части на m и на 1 + , используем закон сохранения энергии и получим уравнение:
Это та же самая зависимость между скоростью и перепадом высоты d = h0 – h, которая справедлива и для свободно падающего тела, с тем лишь отличием, что g заменяется на g/(1 + ). Если эту замену не учитывать, зависимость скорости шарика, катящегося вниз по наклонной плоскости, от проходимого перепада высоты та же самая, что и для тела в свободном падении. Это означает, что, изучая скатывание шаров по наклонной плоскости, можно доказать, что и свободно падающие тела движутся равноускоренно. Однако таким образом нельзя рассчитать ускорение, если не учитывать реальное значение коэффициента 1/(1 + ).
Путем сложных доказательств Гюйгенс сумел выразить время, которое требуется маятнику длины L, чтобы переместиться с одной стороны на другую с небольшим углом, равенством:
Полученный Гюйгенсом результат означал, что это время в раз больше, чем то время, которое нужно падающему телу, чтобы пройти расстояние d = L/2.
26. Параболические траектории