Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике
Шрифт:
При проверке значимости коэффициентов пробит или логит-регрессии выдвигается основная гипотеза о незначимости данных коэффициентов:
H0:1=2=…=k=0.
Тогда конкурирующей или альтернативной гипотезой будет гипотеза вида:
H1:1/=2/=…/=k/=0.
Для проверки выдвинутых гипотез рассчитывается величина H=-2(l1–l0), которая распределена по 2закону распределения с k степенями свободы.
Критическое значение 2– критерия определяется по таблице по 2распределения
При проверке гипотез возможны следующие ситуации:
Если величина H больше критического значение 2-критерия, т.е.
то основная гипотеза отвергается, и коэффициенты модели регрессии являются значимыми. Следовательно, модель пробит или логит-регрессии также является значимой.
Если величина H меньше критического значение 2– критерия, т. е.
то основная гипотеза принимается, и коэффициенты модели регрессии являются незначимыми. Следовательно, модель пробит или логит-регрессии также является незначимой.
Оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии, полученные методом максимума правдоподобия, удовлетворяют следующему утверждению.
Пусть – это элемент, принадлежащий заданному пространству А. Если А является открытым интервалом, а функция L дифференцируема и достигает максимума в заданном интервале A, то оценки максимального правдоподобия удовлетворяют равенству вида:
Докажем данное утверждение на примере модели логит-регрессии.
Функция максимального правдоподобия для модели логит-регрессии имеет вид:
Продифференцируем полученную функцию по параметру :
Следовательно, утверждение можно считать доказанным.
В том случае, если для модели регрессии справедливы предпосылки нормальной линейной модели регрессии, то оценки неизвестных коэффициентов, полученные с помощью метода наименьших квадратов, и оценки, полученные с помощью метода максимума правдоподобия, будут совпадать.
57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии
Случайной ошибкой называется отклонение в линейной модели множественной регрессии:
i=yi–0–1x1i–…–mxmi
В связи с тем, что величина случайной ошибки модели регрессии является неизвестной величиной, рассчитывается выборочная оценка случайной ошибки модели регрессии по формуле:
где ei – остатки модели регрессии.
Термин гетероскедастичность в широком смысле понимается как предположение о дисперсии случайных ошибок модели регрессии.
При построении нормальной линейной модели регрессии учитываются следующие условия, касающиеся случайной ошибки модели регрессии:
6) математическое ожидание случайной ошибки
7) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:
8) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):
Второе условие
означает гомоскедастичность (homoscedasticity – однородный разброс) дисперсий случайных ошибок модели регрессии.
Под гомоскедастичностью понимается предположение о том, что дисперсия случайной ошибки i является известной постоянной величиной для всех наблюдений.
Но на практике предположение о гомоскедастичности случайной ошибки i или остатков модели регрессии ei выполняется не всегда.
Под гетероскедастичностью (heteroscedasticity – неоднородный разброс) понимается предположение о том, что дисперсии случайных ошибок являются разными величинами для всех наблюдений, что означает нарушение второго условия нормальной линейной модели множественной регрессии:
Гетероскедастичность можно записать через ковариационную матрицу случайных ошибок модели регрессии:
Тогда можно утверждать, что случайная ошибка модели регрессии i подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2:
i~N(0; G2),
где – матрица ковариаций случайной ошибки.
Если дисперсии случайных ошибок
модели регрессии известны заранее, то проблема гетероскедастичности легко устраняется. Однако в большинстве случаев неизвестными являются не только дисперсии случайных ошибок, но и сама функция регрессионной зависимости y=f(x), которую предстоит построить и оценить.
Для обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии необходимо провести их анализ. При этом проверяются следующие гипотезы.
Основная гипотеза H0 предполагает постоянство дисперсий случайных ошибок модели регрессии, т. е. присутствие в модели условия гомоскедастичности:
Альтернативная гипотеза H1 предполагает непостоянство дисперсиий случайных ошибок в различных наблюдениях, т. е. присутствие в модели условия гетероскедастичности:
Гетероскедастичность остатков модели регрессии может привести к негативным последствиям: