Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

где а /= 0 — произвольное действительное число.

10.15. Найдите все действительные значения m, при которых квадратный трехчлен x^2 + mx + (m^2 + 6m) будет отрицателен при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 1 < x < 2.

10.16. Найдите все действительные значения а, при которых корни многочлена x^2 + x + а будут действительными и оба корня будут больше а.

10.17. При каких значениях к

корни многочлена

k^2x^2 + kx - 2

будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?

10.18. Найдите все действительные значения m, для которых неравенство

тx^2 - 4x + 3m + 1 > 0

удовлетворяется при всех положительных значениях x.

Решите неравенства:

10.19. |x^2 - 2x– 3| < 3x– 3.

10.20. |x– 3| > |x + 2|.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27. 4^x <= 3 · 2^x + x + 4^x+1.

10.28. 4x^2 + 3^{x +1} + x · 3^x < 2x^2 · 3^x + 2x + 6.

10.29 [10] .

Решите неравенства:

10.30. (4x^2 + 12x + 10)^{|x^3 - 5x + 2|} >= (4x^2 + 12x + 10)^{x– 2}.

10.31. x^{log_аx +1} > а^2x.

10

Требуется найти не только положительные значения x.

10.32 [11] .

10.33.

10.34.

10.35.

10.36. log₂ (2^x– 1) log _1/2 (2^{x + 1}– 2) > -2.

10.37. log_{|x + 6|} 2

· log₂(x^2 - x– 2) >= 1.

11

 Требуется найти не только положительные значения x.

10.38.

10.39. log_kxx + log_x(kx^2) > 0, где 0 < k < 1.

10.40. log_x[log₂(4^x– 6)] <= 1.

10.41.

10.42.

10.43. |2 |x| - 1| · 1ох₂ (2 - 2x^2) > 1.

10.44.

10.45. log_{x^2 - 1} (3x– 1) < log_{x^2 - 1} x^2.

10.46.

10.47. При каких значениях у верно следующее утверждение: «Существует хотя бы одно значение x, при котором удовлетворяется неравенство

2 log_0,5 y^2 - 3 + 2x log_0,5 y^2 - x^2 > 0»?

10.48. При каких значениях а из неравенства

x^2 - а(1 + а^2)x + а⁴ < 0

следует неравенство

x^2 + 4x + 3 < 0?

10.49. Для каждого действительного а решите неравенство

10.50. Решите неравенство

(x^2 + 8x + 15)2^{2 + x} > x^2 + 7x + 10.

10.51. Определите, какие из чисел -4, -1, 1, 4 являются решениями неравенства

|0,5 - lg 5|x <= 0,5 - lg 5.

10.52. Решите неравенство

(5 - 2)^{x– 6} <= (5 + 2)^x.

10.53. Решите неравенство