Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

12.9. Докажите, что если sin + sin = а, cos + cos = b, то

12.10. Дано

2 tg^2 tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2 = 1.

Вычислите sin^2 + sin^2 + sin^2 .

12.11. Углы , , образуют арифметическую прогрессию с разностью /₃ . Вычислите

А = tg tg + tg tg + tg tg .

12.12. Сумма трех положительных чисел , и равна /₂. Вычислите произведение ctg ctg , если известно, что ctg , ctg и ctg образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без

калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.

Глава 13

Тригонометрические уравнения и системы

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = n + (-1)ⁿ arcsin а, |а| <= 1,

cos x = а, x = 2n ± arccos а, |а| <= 1,

tg x = а, x = n + arctg а,

ctg x = а, x = n + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2n + rсsin а, x = (2n + 1) - arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = n + (-1)ⁿ /₂.

При n = 2k получим x = 2k + /₂, а при n = 2k + 1 получим x = 2k + - /₂ = 2k + /₂. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = n; sin x = 1, x = /₂ + 2n; sin x = -1, x = - /₂ + 2n;

cos x = 0, x = /₂ + n; cos x = 1, x = 2n; cos x = -1, x = (2n + 1);

tg x = 0, x = n; ctg x = 0, x = /₂ + n.

При

решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2k, x– у = 2l; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1), x– у = 2l. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x– у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x– у = k может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.

Однородные уравнения. Уравнение вида

а₀ sin^k x + а₁ sin^{k– 1} x cos x + ...

... + а_{k– 1} sin x cos^{k– 1} x + а_k cos^k x = 0 (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При ₀ /= 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а₀ sin^k x = 0, откуда sin^k x = 0, так как а₀ /= 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при а_к /= 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a₀ /= 0 и а_k /= 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cos^k x, мы получим (поскольку cos x /= 0) равносильное ему алгебраическое уравнение