Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x– у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = /₄ + (2т + n), у = - /₄– /₂ (2т– n).

Прежде

чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1. 1 + sin 2x + 22 cos 3x sin (x + /₄) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

13.2.

.

13.3.

.

13.4. tg 2x tg 7x = 1.

13.5.

13.6. 2 tg 3x– 3 tg 2x = tg^2 2x tg 3x.

13.7. sin^3 x + cos^3 x + ¹/₂ sin 2x sin (x + /₄) = cos x + sin 3x.

13.8. 4 tg 4x– 4 tg 3x– tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.

13.9. Найдите решения уравнения

лежащие в интервале (0, 2).

13.10. Решите уравнение

sin (x– ) = sin x– sin .

13.11. Найдите решения уравнения

|cos 2x| = |sin^2 x– а|

(а — действительное число), удовлетворяющие неравенству

0 <= x <= 2.

Решите уравнения:

13.12.

13.13. (tg x + sin x) ^1/2 + (tg x– sin x) ^1/2 = 2 tg ^1/2 x cos x.

13.14. ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + ²/_{sin 4x}.

13.15. sec x^2 + cosec x^2 + sec x^2 cosec x^2 = 1.

13.16.

13.17. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.

13.18. cos x = cos^2 ^3x/₄.

13.19. sin 4x[2 + ctg x + ctg (/₄– x) = 22(1 + sin 2x + cos 2x).

13.20. sin 4x sin x– sin 3x sin 2x = 1/2 cos 3x + (1 + cos x) ^1/2 .

13.21. sin 4x = m tg x,

где m > 0.

13.22. sin ^x/₂ (sin x + sin 2x + ... + sin 100x) = 1/2 sin ^101x/₂.

13.23. sin^2 x + sin 2x sin 4x + ... + sin nx sin n^2x = 1.

13.24. 4 cos x– 2 cos 2x– cos 4x = 1.

13.25.

13.26. sin^3 x + cos^3 x = 1.

13.27. cos^2 3x + 1/4 cos^2 x = cos 3x cos⁴ x.

13.28. При каких значениях а уравнение

1 + sin^2 ax = cos x

имеет единственное решение?

Решите системы:

13.29.

13.30.

13.31.

13.32.

13.33.

13.34.

13.35.

13.36.

13.37.

13.38.

13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению

tg⁴ x + tg⁴ у + 2 ctg^2 x ctg^2 у = 3 + sin^2 (x + у).