"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Автор неизвестен

ДЕЯКІ НАУКОВІ ТА МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ

О.В. Глушков, С.В. Малиновська

м. Одеса, Одеський державний екологічний університет

В сучасній математичній фізиці значний розвиток та широкі застосування отримав математичний апарат опису нелінійних квантових систем, який базується на операторній теорії збурень (ТЗ) (див. [1]) та S–матричному адіабатичному формалізмі Гелл-Мана та Лоу (див. напр.[2]). Особливо значні результати можуть бути отримані при його застосуванні в розв’язанні задач взаємодії складних систем із зовнішніми полями. Викладання цього апарату, як правило, потребує високого навчально-методичного та наукового рівня. Нижче ми розглянемо питання його викладання та застосування в наукових задачах на прикладі розв’язання задачі взаємодії “квантова система – зовнішнє поле”.

Мета – отримати основні характеристики – лінії радіаційного поглинення, які варто описувати на підставі техніки моментів _m. Розглядається взаємодія квантової, наприклад, атомної системи (КС) з когерентним випромінюванням (КВ). Відомі розв’язки подібної задачі для

випадку гармонічного КВ, але для сильних (стохастичних тощо) полів задача ще досить далека від свого послідовного розв’язання. Взаємодію КС-КВ можна описувати потенціалом:

V( r, t)= V( r) d f( ₀) [ ₀ t+ ₀ n],

де n– ціле число. Умова d f ² =1 нормує потенціал V( rt) на певну енергію. Функцію f візьмемо в гаусовій формі: I exp [ –ln2 (/D) ²]. Далі для рівня КС розраховується Im частина енергетичного зсуву Е як функція центральної частоти імпульсу КВ ₀. Шукана функція має форму резонансу. Кожен резонанс можливо пов’язати з певним переходом КС «-р», в якому поглинається « k» фотонів (, n– дискретні рівні в спектрі КС). Для резонансу розраховуються моменти ліній:

p| k) = d Im E _{( - p / k) / N, (1)}

_m= d Im E _{( - p / k) ^m/ N,}

де d Im E _{– нормуючий фактор; p – положення незсунутої лінії КС переходу - p; ( pa| k) – зсув лінії при k–фотонному поглинанні; p = p + k p| k). Моменти 1, 2и 3визначають відповідно зсув лінії, її дисперсію та асиметрію. Для розрахунку m необхідно провести розклад E в ряд ТЗ: E = E ^{( 2k )}( 0). З цією метою використовуємо адіабатичну формулу Гелл-Мана та Лоу для енергетичного зсуву:}

E : E = gln | S (0,| g)| | ^{g = 1}.

де S – матрица розсіювання. Визначення S– матриці у виді ряду ТЗ індукує розклад для E _:

E _{( 0)=i( k 1, k 2,..., k n ) I ( k 1, k 2,..., k n ), (2)}

I _{( k 1, k 2,..., k n ) = S ^{( kj )},}

S ^{( m )}= (-1) ^m t ₁... t _m | V ₁ V ₂... V _m | ,

V _j = exp (1 H ₀ t _j ) V( rt _j ) exp (-1 H ₀ t _j ) exp ( t _j ). (3)

де H–

оператор Гамільтону КС; a( k ₁, k ₂,..., k _n ) – чисельні коефіцієнти. Матричні елементи S ^{( m )}представляють 2 ^m доданків відповідно двом доданкам V в (3). В кожному є m– кратне інтегрування по часу та m– кратне сумування по КВ імпульсам. В I ( k ₁, k ₂, ..., k _n ) є крім кінцевих при 0 доданків всі можливі степені розбіжності від 1/ до 1/ ^m. Більш сильні ніж 1/ розбіжності природно компенсуються у кожному наближенні ТЗ. У двох перших наближеннях ТЗ при обмеженні одним членом розкладу по D ²для E ( ₀) маємо:

E ( ₀) = {2 S ⁽²⁾+ 4 S ⁽⁴⁾– 2 S ⁽²⁾ S ⁽²⁾+

( k+1) [ S ^{(2 k + 2)}– S ^{(2 k )} S ^{(2 k )}]

Далі сумування по КВ імпульсу замінюється інтегруванням, оскільки результат не залежить від точки відліку, і нарешті, I ( k ₁, k ₂,..., k _n ) є ( L+2 k+1)–кратній інтеграл по ( L+2 k) часовим змінним та частоті КВ. Інтеграл по КВ частоті має вигляд:

d ₀ F( ₀)= { n _{j 0}– _pj – iq _j )} ^{– 1}

{- n _{s 0}– _ps – iq _s )} ^{– 1}( ₀– _p / k) ^m d ₀.