"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"
Шрифт:
Розглянемо застосування математичних комп’ютерних систем до виконання типових розрахунків
Задача. Знайти розв’язок крайової задачі
y''–4 y'+4 y=e 3 x , y(0)=0, y(1)=–2.
Метод Рітца. Даються вказівки щодо виконання завдання.
1. Запишіть відповідний функціонал
J( y)=, y(0)=0, y(1)=–2.
2. Виберіть базисні функції, наприклад:
a) u 1( x) =x, u 2( x) =x(1 –x), u 3( x) =x 2(1 –x), ...;
б) u 1( x) =x( x–1), u 2( x) =x 2( x–1) , ...;
в) u 1( x) =1– x 2, u 2( x) =1 –x 4, u 3( x) =1 –x 6, ...;
г) u 1( x) =x 2(1 –x), u 2( x) =x 3(1 –x) 2, u 3( x) =x 4(1 –x) 3, ...;
3.
4. Завантажте комп’ютерну систему DERIVE, та виконайте вказані дії.
5. Побудуйте графік функцій y( x). Порівняйте його із графіками наближених розв’язків y 1( x) і y 2( x).
Задача. Спрощена модель системи стеження радіолокатора може бути сформульована у вигляді ДР [2]:
x''( t) +a 1 x'( t) +a 2 x( t) =f( t) .(1)
Завдання типового розрахунку полягає в оцінюванні різниці вхідного і вихідного сигналів f( t) –x( t) і порівнянні різних форм вхідного сигналу f( t): f 1( t)= Asin( t+), f 2( t) =b 0 +b 1 t+b 2 t 2, f 3( t) =b 0 +b 1 t+b 2 t 2 +b 3 t 3,
Поглибити рівень засвоєння розділу ДР другого порядку і теми в цілому можна за рахунок застосування знаково-символьних засобів, які розрізняються своїми характеристиками, що дозволяє формувати уміння виділяти відношення форми і змісту об’єкта.
Розглянемо приклад розв’язування завдання типового розрахунку, із використанням різних методів розв’язування диференціального рівняння та різних комп’ютерних математичних систем. Нехай рівняння (1) має вигляд:
x''( t) +3 x'( t) +5 x( t)=4sin3 t, x(0)=0, x'(0)=0 (2)
Розв’язання задачі (2) спершу здійснюється методом невизначених коефіцієнтів у відповідній послідовності з використанням пакету DERIVE. Далі студентам дається завдання для самостійної роботи: Зробити перевірку одержаного результату, скориставшись, наприклад, програмою пакета Maple:
with(DEtools):
dsolve({diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+5*x(t)=4*sin(3*t),x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));
Використовуються також інші методи. Метод варіації довільних сталих доцільно реалізувати за допомогою пакету DERIVE. Метод інтегрального перетворення Лапласа у такій послідовності (система Maple):
– перший етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати функцію оберненого перетворення Лапласа invlaplace .
– другий етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати лишки до знаходження оригіналу.
Доцільно ознайомити студентів із методом інтеграла Дюамеля, оскільки вони набули до цього уміння застосовувати перетворення Лапласа і цей етап реалізує закріплення матеріалу.
Оскільки результати спостережень за вхідним сигналом є наближеними, то у типовому розрахунку передбачається використання методу апроксимації, який реалізується у такій послідовності.