"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Автор неизвестен

а) Метод найменших квадратів.

Відомі спостереження в точках f(0)=4sin(0) =0, f(1)=4sin(3)=0.5644798, f(2)=4sin(6)=–1.1176616, f(3)=4sin(9)=1.6484734, рівняння розв’язується за умови, що вхідним впливом є функція

f( t) =P ₃( t) =a ₀ +a ₁ t+a ₂ t ² +a ₃ t ³

–

інтерполяційний многочлен третього степеня. Функцію P ₃( t) знаходимо за методом найменших квадратів.

б) Кусково-лінійна апроксимація.

Розв’яжемо рівняння (1), у випадку, коли вхідний сигнал задається кусково-лінійною функцією f( t) =x ₄( t):

в) Наближення інтерполяційними сплайнами.

Розв’яжемо рівняння (2), у випадку, коли вхідний сигнал задається сплайн-функцією f( t)= x ₃( t), тобто кубічним сплайном .

Завдання для самостійної роботи

Використати інші із розглянутих методів розв’язання диференціального рівняння з правою частиною (сплайн-функції).

Поява сучасних комп’ютерів та математичних комп’ютерних систем створили умови для використання у навчальному процесі більшої кількості наближених методів та ознайомлення студентів із сучасними наближеними аналітичними методами розв’язування ДР, зокрема, методом відомого українського математика Дзядика В.К. (1919-1998).

Метод дає можливість на заданому проміжку будувати многочлени, які з високою точністю наближають шуканий розв’язок, особливо у випадку, коли коефіцієнтами лінійного диференціального рівняння (ДР) є многочлени. Розглянемо застосування методу на прикладі деяких класів ДР.

Без використання математичних комп’ютерних систем типу Mathematicа завершити обчислення можна лише в найпростіших випадках. Використаємо пакет Mathematicа 4.0 при розв’язуванні задачі Коші [4]. Якщо розв’язується задача

y''+3 y'+5 y=–x ³ +2 x ², y(0)=1, y'(0)=–1, (3)

наближений розв’язок рівняння шукаємо у вигляді многочлена, наприклад, четвертого степеня. Розв’язок має вигляд

Нижче наведено графіки відхилення та відносної похибки точного і наближеного розв’язків рівняння (3).

Наближений розв’язок рівняння Бесселя у вигляді степеневого ряду знаходиться за допомогою системи Mapleтак. Програма мовою системи має вигляд.

Order:=10:dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-1)*y(x)=0,y(x),series);

Наближення загального розв’язку система записує таким чином

Проте загальний розв’язок система повертає і у звичній формі:

dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-k^2)*y(x)=0,y(x));

Як ми уже бачили, моделі деяких процесів описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Особливо це стосується дослідження систем автоматичного управління, які описуються нелінійними математичними моделями. Тому для одержання характеристик динамічної системи часто перетворюють рівняння. Одним із методів перетворення рівнянь є метод лінеаризації.

Він полягає у послідовному перетворенні нелінійного рівняння, в результаті чого одержується лінійне рівняння, яке відповідає заданому нелінійному. Розглядають повну лінеаризацію, коли рівняння зводиться до такого, в якому міститься менша кількість нелінійностей або спрощені нелінійності – наприклад, коли функція y=e ^х заміняється першими членами ряду Тейлора 1 +x+0.5 x ².

Приклад . Знайти методом лінеаризації наближений розв’язок системи ДР, яка є варіантом моделі розвитку популяції

де x( t), y( t) – кількість жертв та хижаків, >0, <0, <0, >0.

Початкові умови x(0) =x ₀, y(0) =y ₀.

Замінимо нелінійну задачу лінійною в околі стаціонарної точки, де dx/dt=0, dy/dt=0. Це точка з координатами x _s =–/і

y _s =–/. Праві частини рівнянь системи подамо у вигляді формули Тейлора в околі стаціонарної точки M( x _s , y _s ), обмежившись лінійними членами.

f( x, y) =f( M) +df/dx( M)( x–x _s ) +df/dy( M)( y–y _s ) +...

Тоді x+xy=x _s ( y–y _s ), y+xy=y _s ( x–x _s ), а лінеаризована система набуває вигляду

Можна зробити висновок про те, що поведінка розв’язку заданої системи у певному розумінні близька до розв’язку лінеаризованої системи ДР і, що на основі цього можна робити певні висновки та припущення щодо досліджуваного процесу. Наприклад, що фазові траєкторії в околі стаціонарної (особливої) точки є концентричними, що коливання в системі «хижак–жертва» є нестійкими.

Розглянута методика проведення заняття демонструє студентам доцільність використовування комп’ютерів з метою ефективнішого засвоєння матеріалу; сприяє формуванню у студентів навичок використання пакетів, вмінь правильно аналізувати практичні задачі; переконує студента у необхідності оволодіння теоретичними знаннями; студенти набувають досвід використання таких методів наукового пізнання, як аналіз, порівняння, узагальнення та інше; активізує навчально-пізнавальну діяльність студентів.