Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Пусть также X будет полной силой в направлении x, действующей на часть контура от s=0 до s=s. Тогда часть, соответствующая элементу ds, будет равна (dX/ds)ds. Для работы, совершаемой этой силой за время перемещения, будем иметь следующее выражение:
dX
ds
x
ds
=
i
2
d
dx
F
dx
ds
+
G
dy
ds
+
H
dz
ds
x
ds
,
(4)
где
dx
dx
=
1,
dx
dy
=
0,
dx
dz
=
1.
(5)
Таким образом, находим
dX
ds
x
ds
=
i
2
c
dy
ds
–
b
dz
ds
x
ds
+
i
2
d
ds
(Fx)
ds
.
(6)
При интегрировании по замкнутой кривой последний член исчезает и так как уравнение должно выполняться для функции x любого вида мы должны иметь
dX
ds
=
i
2
c
dy
ds
–
b
dz
ds
.
(7)
Это уравнение даёт силу, параллельную x и действующую на произвольный единичный элемент контура. Силы, параллельные y и z, соответственно равны
dY
ds
=
i
2
a
dz
ds
–
c
dx
ds
,
(8)
dZ
ds
=
i
2
b
dx
ds
–
a
dy
ds
.
(9)
Результирующая сила, действующая на элемент, даётся (и по направлению, и по величине) кватернионным выражением i2V.dB, где i2 есть численная мера тока, а d и B - векторы, представляющие элемент контура и магнитную индукцию; умножение должно пониматься в гамильтоновом смысле.
603. Если проводник следует рассматривать не как линию, а как некоторое тело, то силу на элемент длины и ток через полное сечение необходимо выражать через символы, обозначающие силу на единицу объёма и токи через единицу площади.
Пусть X, Y, Z представляют теперь составляющие силы, отнесённой к единице объёма, а u, v, w -составляющие тока, отнесённого к единице площади. Тогда, если S представляет сечение проводника, которое мы будем предполагать малым, то объём элемента ds
u
=
i
2
dx
.
S
ds
Следовательно, уравнение (7) примет вид
XSds
ds
=
S
(
vc
–
wb
),
(10)
или
X
=
vc
–
wb
,
(Уравнения
Электромагнитной
Силы)
Аналогично
Y
=
wa
–
uc
,
и
Z
=
vb
–
ua
.
(C)
Здесь X, Y, Z - составляющие электромагнитной силы, действующей на элемент проводника, делённые на объём этого элемента; u, v, w - отнесённые к единице площади составляющие электрического тока, протекающего через элемент, и a, b, c - составляющие магнитной индукции на элементе, которые также отнесены к единице площади.
Если вектор F представляет по величине и направлению силу на единицу объёма проводника, а C представляет собой электрический ток, текущий через него, то
F
=
V.CB
.
(11)
ГЛАВА IX
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
604. Наше теоретическое обсуждение электродинамики мы начнём с предположения о том, что система контуров, несущих электрические токи, является системой динамической, где токи можно рассматривать как скорости, а координаты, соответствующие этим скоростям, не появляются в уравнениях явно. Из этого следует, что кинетическая энергия системы, поскольку она зависит от токов, является однородной квадратичной функцией токов, коэффициенты которой зависят только от формы и относительного положения контуров. Предполагая, что эти коэффициенты известны из эксперимента или ещё откуда-либо, мы с помощью чисто динамических рассуждений вывели законы индукции токов и электромагнитного притяжения. При этом исследовании мы ввели понятия электрокинетической энергии системы токов, электромагнитного импульса тока и взаимного потенциала двух контуров.
Затем мы продолжили исследование поля с помощью вторичных контуров различной конфигурации, и это привело нас в результате к понятию вектора A, имеющего в любой данной точке поля определённую величину и определённое направление. Мы назвали этот вектор электромагнитным импульсом в данной точке; его можно рассматривать как интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, создаваемой в этой точке при внезапном удалении всех токов из поля. Он тождествен величине, которую мы уже изучали в п. 405 в качестве вектор-потенциала магнитной индукции. Её составляющими, параллельными осям x, y, z, являются F, G и H. Электромагнитный импульс контура равен линейному интегралу от A по контуру.