Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
E
=
c
dy
dt
–
b
dz
dt
–
dF
dt
dx
ds
ds
+
a
dz
dt
–
c
dx
dt
–
dG
dt
dy
ds
ds
+
b
dx
dt
–
a
dy
dt
–
dH
dt
dz
ds
ds
.
(4)
Это
E
=
P
dx
ds
+
Q
dy
ds
+
R
dz
ds
ds
,
(5)
где
P=c
dy
dt
– b
dz
dt
–
dF
dt
–
d
dx
,
(Уравнения
Электродвижущей
Напряжённости)
Q=a
dz
dt
– c
dx
dt
–
dG
dt
–
d
dy
,
R=b
dx
dt
– a
dy
dt
–
dH
dt
–
d
dz
.
(B)
Члены, включающие в себя новую величину , введены для того, чтобы придать общность выражениям для P, Q, R. Эти члены исчезают, когда интеграл берётся по замкнутому контуру. В рамках интересующей нас задачи отыскания электродвижущей силы вдоль контура величина является, таким образом, неопределённой. Однако мы увидим, что, когда мы знаем все относящиеся к задаче обстоятельства, мы можем приписать величине вполне точное значение, представляющее, согласно известному определению, электрический потенциал в точке (x,y,z).
Величина же, стоящая под знаком интеграла в уравнении (5), представляет собой электродвижущую напряжённость, действующую на элемент контура ds.
Обозначим через T.E численное значение результирующей P, Q, R, а через - угол между направлением этой результирующей и направлением элемента dr, тогда вместо уравнения (5) мы можем записать
E
=
T.E
cos
ds
.
(6)
Вектор E есть электродвижущая напряжённость движущегося элемента ds. Её направление и величина зависят от положения и движения ds, а также от изменения магнитного поля и не зависят от направления ds. Поэтому мы теперь можем не учитывать то обстоятельство, что элемент ds является частью контура, и считать его просто участком движущегося тела, находящимся под действием электродвижущей силы. Электродвижущая напряжённость уже была определена нами в п. 68. Её называют также результирующей электрической силой, поскольку это та сила, действие которой испытывала бы на себе единица положительного электричества, помещённая в данную точку. Мы получили теперь наиболее общее выражение этой величины для случая тела, движущегося в магнитном поле, обусловленном изменяющейся электрической системой.
Если это тело представляет собой проводник, то электродвижущая сила создаёт ток, если же это диэлектрик - она создаст только электрическое смещение.
Электродвижущую напряжённость или силу, действующую на частицу, следует тщательно отличать от электродвижущей силы вдоль участка кривой. Последняя является линейным интегралом от первой, см. п. 69.
599. Электродвижущая напряжённость, компоненты которой определяются уравнениями (В), зависит от трёх обстоятельств. Первое из них - это движение частицы через магнитное поле. Часть силы, зависящая от этого движения, выражается первыми двумя членами правых частей каждого из уравнений. Она зависит от скорости
E
1
=
V.
(7)
т.е. электродвижущая напряжённость есть векторная часть произведения магнитной индукции на скорость, иначе говоря, величина электрической силы представляется площадью параллелограмма, стороны которого представлены скоростью и магнитной индукцией, а её направление есть направление нормали к этому параллелограмму, проведённой так, чтобы скорость, магнитная индукция и электродвижущая напряжённость составляли правую циклическую последовательность.
Третий член в каждом из уравнений (В) зависит от изменения магнитного поля во времени. Оно может быть обусловлено либо изменением во времени электрического тока в первичном контуре, либо движением первичного контура. Пусть E2 будет той частью электродвижущей напряжённости, которая зависит от этих членов. Её составляющие равны -dF/dt, -dG/dt, -dH/dt.
Это составляющие вектора -dA/dt, или -A. Следовательно,
E
2
=
– A
.
(8)
Последний член в каждом из уравнений (В) обусловлен изменением функции в различных частях поля. Мы можем записать третью часть электродвижущей напряжённости, обусловленную этой причиной, в виде
E
3
=
–
.
(9)
Электродвижущая напряжённость в том виде, как она определена уравнениями (В), может быть, следовательно, записана в кватернионной форме:
E
=
V.GB
– A
–
.
(10)
О модификации уравнений для электродвижущей напряжённости в случае, когда оси, на которые она проектируется, движутся в пространстве
600. Пусть x', y', z' - координаты точки, относящиеся к системе прямоугольных осей, движущихся в пространстве, а x, y, z - координаты той же точки относительно неподвижных осей.
Пусть составляющие скорости начала движущейся системы координат равны u, v, w, а составляющие её угловой скорости по отношению к неподвижной системе осей равны 1, 2, 3. Выберем неподвижные оси так, чтобы они в данный момент времени совпали с движущимися осями, тогда единственными величинами, которые будут отличны друг от друга для обеих систем, окажутся величины, продифференцированные по времени. Если через x/t обозначить составляющую скорости точки, жёстко связанной с движущимися осями и перемещающейся вместе с ними, а через dx/dt и dx'/dt - составляющие скорости любой движущейся точки, имеющей в какое-то мгновение одинаковое положение относительно неподвижных и движущихся осей соответственно, тогда
dx
dt
=
x
t
+
dx'
dt
,
(1)
для других составляющих уравнения аналогичны.
Согласно теории движения тел неизменной формы
x
t
=
u
+
2
z
–
3
y
,
y
t
=
v
+
3
x
–
1