Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dP
=
dP
'
d
dt
(26)
Интегрируя по от =0 до =, для значения функции P получаем
P
=
–
0
dP
dt
d
,
(27)
откуда, дифференцируя,
664. В качестве примера рассмотренного здесь процесса возьмём случай одиночного магнитного полюса единичной мощности, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью.
Пусть в момент времени t координаты полюса равны
=
u(t-)
,
=
0
,
=
c
+
mt
.
Координаты изображения полюса, сформировавшегося в момент времени t-, будут
=
u(t-)
,
=
0
,
=
– (
c
+
m(t-)
+
R
).
и если r - расстояние от точки (x,y,z) до этого отображения, то
t^2
=
(x-u(t-))^2
+
x^2
+
(z+c+m(t-)+R)^2
.
Чтобы получить потенциал, обусловленный дорожкой изображений, мы должны подсчитать
–
d
dt
0
d
r
.
Если записать Q^2=u^2+(R-m)^2, то
0
d
r
=-
1
Q
log{
Qr
+
u(x-ut)
+
(R-m)
(z+c+mt)
}
плюс бесконечно большой член, который, однако, пропадает при дифференцировании по времени; величина r в этом выражении находится из приведённого выше выражения для r при =0.
Дифференцируя это выражение по t и полагая t=0, получаем магнитный потенциал, обусловленный дорожкой изображений,
Q
m(z+c)-ux
– u^2-m^2+Rm
=
1
r
.
Q
Qx+ux+(R-m)(z+c)
Дифференцируя это выражение по x или z, мы находим составляющие (соответственно параллельные x или z) магнитной силы в любой точке, а положив в этих выражениях x=0, z=c и r=2c, мы получим следующие значения составляющих силы, действующей на сам движущийся полюс:
X
=
–
1
4c^2
u
Q+R-m
1
+
m
Q
–
u^2
Q(Q+R-m)
,
Z
=
–
1
4c^2
m
Q
–
u^2
Q(Q+R-m)
.
665.
Если взять скорость m отрицательной и положить u=0, то получим
X
=
0
и
Z
=
1
4c^2
m
R+m
т.е. полюс, приближаясь к листу, отталкивается от него.
Положив m=0, находим
Q^2
=
u^2
+
R^2
,
X
=
–
1
4c^2
·
uR
Q(Q+R)
,
Z
=
1
4c^2
·
u^2
Q(Q+R)
.
Составляющая X представляет собой силу торможения, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. При заданном значении R сила X максимальна, когда u=1,27 R.
Для непроводящего листа R= и X=0. Для идеально проводящего листа R=0 и X=0.
Составляющая Z представляет собой силу отталкивания полюса от листа. С ростом скорости она увеличивается и в пределе достигает значения 1/(4c^2), когда скорость становится бесконечной. Это же значение она принимает при R=0.
666. Когда магнитный полюс движется вдоль кривой, параллельной листу, вычисления становятся более сложными, но легко видеть, что ближайший участок дорожки изображений создаёт силу, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. Действие участка дорожки, находящегося непосредственно позади ближайшего участка, аналогично действию магнита с осью, параллельной направлению движения полюса в предшествующий момент времени.
Поскольку ближайший полюс этого магнита одноимёнен с движущимся полюсом, то сила будет состоять частично из силы отталкивания, а частично из силы, параллельной прежнему направлению движения, но противоположной ему по знаку. Она может быть разложена на тормозящую силу и на силу в направлении вогнутой стороны того пути, по которому движется полюс.
667. Наше рассмотрение не предоставляет нам возможности решать задачу в случае, когда распределение токов не может быть полностью сформировано из-за наличия у проводящего листа разрывов или границ.
Легко видеть, однако, что если полюс двигается параллельно краю листа, то токи на прилегающей к этому краю части листа ослаблены. Следовательно, силы, обусловленные этими токами, будут меньше, и поэтому не только тормозящая сила будет меньше, но, поскольку сила отталкивания минимальна на участках листа, непосредственно прилегающих к его краю, полюс будет притягиваться к краю.