Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

=

– 2

d

dy

=

– '

.

(7)

Внутри листа эти составляющие меняются непрерывно от значений и до значений ' и '.

Уравнения

dH

dy

–

dG

dz

=

–

d

dx

,

dF

dz

–

dH

dx

=

–

d

dy

,

dG

dx

–

dF

dy

=

–

d

dz

,

(8)

связывающие

составляющие вектор-потенциала F, G, H, обусловленного токовым листом, со скалярным потенциалом , удовлетворяются, если мы положим

F

=

dP

dy

,

G

=

–

dP

dx

,

H

=

0.

(9)

Эти величины мы можем получить также непосредственным интегрированием; так, для F имеем

F

=

u

r

dx'

dy'

=

1

r

d

dy'

dx'

dy'

,

=

r

dx'

–

d

dy'

1

r

dx'

dy'

.

Интеграл должен вычисляться для бесконечного плоского листа, а первый член на бесконечности исчезает, поэтому всё это выражение сводится к его второму члену. Заменяя

d

dy

1

r

на

d

dy'

1

r

и помня, что зависит от x' и y', но не зависит от x, y, z, мы получаем

F

=

d

dy

r

dx'

dy'

,

=

dP

dy

, (согласно (1)).

Если ' есть магнитный потенциал, создаваемый какой-либо магнитной или электрической системой, расположенной вне листа, мы можем записать

P'

=-

dz

(10)

и тогда для составляющих вектор-потенциала, обусловленного этой системой, будем иметь

F'

=

dP'

dy

,

G'

=

–

dP'

dx

,

H'

=

0.

(11)

658. Определим теперь электродвижущую напряжённость в произвольной точке листа, считая его неподвижным.

Пусть X и Y будут составляющими электродвижущей напряжённости, параллельными соответственно x

и y, тогда, согласно п. 598, имеем

X

=

–

d

dt

(F+F')

–

d

dx

,

(12)

Y

=

–

d

dt

(G+G')

–

d

dy

,

(13)

Если электрическое сопротивление листа однородно и равно , то

Y

=

u

,

Z

=

v

,

(14)

где u и v - составляющие тока, выражаемые через функцию тока :

Но по уравнению (3) на положительной поверхности токового листа 2=-dP/dz.

Следовательно, уравнения (12) и (13) могут быть записаны в форме

–

2

d^2P

dydz

=-

d^2

dydt

(P+P')

–

d

dx

,

(16)

2

d^2P

dxdz

=

d^2

dxdt

(P+P')

–

d

dy

,

(17)

где величины, стоящие во всех выражениях, соответствуют положительной поверхности листа.

Дифференцируя первое из этих уравнений по x и второе уравнение по y, а затем складывая результаты, получаем

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=

0.

(18)

Единственным решением этого уравнения, конечным и непрерывным в любой точке плоскости и исчезающим на бесконечном расстоянии от неё, является

=

0.

(19)

Следовательно, индуцирование электрических токов в бесконечном плоском листе с однородной проводимостью не сопровождается появлением разности электрических потенциалов между различными частями листа.

Подставляя это значение - и интегрируя уравнения (16) и (17), мы получаем

2

dP

dz

–

dP

dt

–

dP'

dt

=

f(z,t).

(20)

Поскольку величины токов в листе найдены дифференцированием по x или y, то произвольная функция от z и t при этом исчезает, и мы не будем принимать её в расчёт.

Далее вместо /(2) мы будем употреблять один символ R, который представляет собой некоторую скорость; тогда уравнение, связывающее P и P', станет таким:

R

dP

dz

=

dP

dt

+

dP'

dt

.

(21)