Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2., Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Составляющие намагниченности

Намагниченность в какой-либо точке магнита, будучи вектором или направленной величиной, может быть выражена через три её составляющих, отнесённых к осям координат. Назовём их A, B, C:

(4)

Абсолютное или численное значение величины I задаётся уравнением

I^2

A^2

B^2

C^2

(5)

385.

Если рассматриваемая нами часть магнита есть дифференциальный элемент объёма dxdydz, а I - интенсивность намагниченности этого элемента, то его магнитный момент равен Idxdydz. Подставляя его вместо mds в уравнение (3) и помня, что

r cos

(-x)

(-y)

(-z)

(6)

где , , - координаты конца вектора r, выходящего из точки (x,y,z), для потенциала в точке (,,), обусловленного намагниченным элементом, находящимся в (x,y,z), найдём

{

A(-x)

B(-y)

C(-z)

}

r^3

(7)

Чтобы получить потенциал, создаваемый в точке (,,) магнитом конечных размеров, необходимо найти интеграл от этого выражения по всем элементам объёма, входящим в пространство, занятого магнитом, т.е.

{

A(-x)

B(-y)

C(-z)

}

r^3

(8)

После интегрирования по частям получаем

–

где двойной интеграл в первых трёх членах берётся по поверхности магнита, а тройной интеграл в четвёртом члене - по его объёму.

Обозначим через l, m, n направляющие косинусы нормали, направленной из элемента поверхности dS наружу, тогда, как и в п. 21, для суммы первых трёх членов можно написать

(

)

где интегрирование распространяется на всю поверхность магнита.

Если ввести теперь новые обозначения и , определив их с помощью равенств

то выражение для потенциала может быть записано в виде

386.

Это совпадает с выражением для электрического потенциала, создаваемого телом, на поверхности которого существует электризация с поверхностной плотностью и одновременно во всём веществе которого имеется объёмная электризация с объёмной плотностью . Следовательно, если считать величины и поверхностной и объёмной плотностями распределения некоторого воображаемого вещества, названного нами «магнитной материей», то потенциал, обусловленный ими, будет равен потенциалу, создаваемому истинной намагниченностью всех элементов объёма.

Поверхностная плотность есть составляющая намагниченности вдоль направления внешней нормали к поверхности, а объёмная плотность есть «конвергенция» (см. п. 25) намагниченности в данной точке магнита.

Этот метод представления действия магнита как действия, обусловленного распределением «магнитной материи», очень удобен, однако всегда следует помнить, что он является лишь искусственным приёмом описания действия, создаваемого некоторой системой поляризованных частиц.

О действии одной магнитной молекулы на другую

387. Если, как и в п. 129 б главы о сферических гармониках, положить

(1)

где l, m, n - направляющие косинусы оси h то потенциал, обусловленный магнитной молекулой с магнитным моментом m1 и осью, параллельной h1 помещённой в начало координат, будет равен

r^2

(2)

где 1– косинус угла между h1 и r.

Если имеется вторая магнитная молекула с моментом m2 и осью, параллельной h2, помещённая в точке, где оканчивается радиус-вектор r, то потенциальная, энергия, обусловленная действием одного магнита на другой, будет равна

dh2

d^2

dh1dh2

(3)

m1m2

r^3

(

– 3

)

(4)