Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
.
(1)
Это выражение можно разложить по сферическим гармоникам с центром в начале координат. Будем иметь тогда
V
=
V
0
+
V
1
+
V
2
+ и т.д.
(2)
где
V
0
=(1/r)
,
(3)
r -
V
1
=
x+y+z
r^3
,
(4)
V
2
=
3(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)(^2+^2+^2)
2r5
,
(5)
и т.д.
Для того чтобы определить величину потенциальной энергии магнита, помещённого в поле силы, определяемой этим потенциалом, необходимо проинтегрировать выражение для W в уравнении (3) п. 389 по x, y и z, считая , , и r постоянными.
Если рассмотреть только члены, представляемые гармониками V0, V1 и V2, то результат будет зависеть от следующих объёмных интегралов:
lK
=
A
dx
dy
dz
,
mK
=
B
dx
dy
dz
,
mK
=
C
dx
dy
dz
;
(6)
L
=
Ax
dx
dy
dz
,
M
=
By
dx
dy
dz
,
N
=
Cz
dx
dy
dz
;
(7)
P
=
(Bz+Cy)
dx
dy
dz
,
Q
=
(Cx+Az)
dx
dy
dz
,
R
=
(Ay+Bx)
dx
dy
dz
.
(8)
Таким образом, для величины потенциальной энергии магнита в присутствии единичного полюса, находящегося в точке (,,), находим
W
=
K
l+m+n
r^3
+
^2(2L-M-N)+^2(2M-N-L)
r5
+
+
3(P+Q+R)
r5
+ и т.д.
(9)
Это выражение можно также рассматривать как потенциальную энергию единичного полюса в присутствии магнита или просто как создаваемый магнитом потенциал в точке (,,).
О центре магнита и о главной и побочных осях магнита
392. Это выражение можно упростить, изменив
l
=
1,
m
=
0,
n
=
0.
(10)
Если перенести начало координат в точку (x',y',z'), сохранив направление осей, то объёмные интегралы lK, mK и nK останутся неизменными, а остальные изменятся следующим образом:
L'
=
L
–
lKx'
,
M'
=
M
–
mKy'
,
N'
=
N
–
nKz'
(11)
P'
=
P
–
K(mz'+ny')
,
Q'
=
Q
–
K(nx'+lz')
,
R'
=
R
–
K(ly'+mx')
.
(12)
Если сделать направление оси x параллельным оси магнита и положить
x'
=
2L-M-N
2K
,
y'
=
R
K
,
z'
=
Q
K
,
(13)
то для новых осей значения M и N останутся прежними, а значение L' окажется равным (M+N)/2; не изменится также и величина P, в то время как Q и R обратятся в нуль. Следовательно, мы можем для потенциала записать
K
r^3
+
3/2·(^2-^2)(M-N)+3P
r5
+ ….
(14)
Мы нашли, следовательно, фиксированную относительно магнита точку, такую, что если её выбрать в качестве начала координат, второй член в разложении потенциала выразится в наиболее простой форме; поэтому эту точку можно определить как центр магнита, а проведённую через неё ось в направлении, ранее названном направлением магнитной оси, определить как главную ось магнита.
Мы можем упростить результат ещё больше, повернув оси y и z вокруг оси x на половину угла, тангенс которого равен P/(M-N). Тогда P станет равным нулю, и окончательное выражение для потенциала примет вид
K
r^3
+
3
2
(^2-^2)(M-N)
r5
+ и т.д.
(15)
Это есть простейшая форма представления первых двух членов потенциала магнита. Оси y и z, направленные таким образом, могут быть названы побочными осями магнита.
Центр магнита мы можем определить и иначе, отыскав такое положение начала координат, при котором поверхностный интеграл от квадрата второго члена в разложении потенциала, взятый по сфере единичного радиуса, минимален.