Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Если маленький магнит длиной ds расположен так, что его положительный полюс величины m находится в точке с потенциалом V, а отрицательный - в точке с потенциалом V', то потенциальная энергия этого магнита будет равна m(V-V') или, если соизмеряется от отрицательного полюса к положительному,
m
dV
ds
ds
.
(1)
Если I - величина намагниченности, , , - её направляющие косинусы, то можно написать
m
ds
=
I
dx
dy
dz
и
dV
ds
=
dV
dx
+
dV
dy
+
dV
dz
,
и,
A
dV
dx
+
B
dV
dy
+
C
dV
dz
dx
dy
dz
.
(2)
Чтобы получить потенциальную энергию магнита конечных размеров, необходимо проинтегрировать это выражение по всем элементам магнита. Таким образом получим
W
=
A
dV
dx
+
B
dV
dy
+
C
dV
dz
dx
dy
dz
.
(3)
Это и есть потенциальная энергия магнита относительно магнитного поля, в которое он помещён.
Она выражена здесь через составляющие намагниченности и магнитной силы, возникающей от внешних источников.
Интегрируя по частям, мы можем выразить её через распределение магнитной материи и магнитного потенциала:
W
=
(
Al
+
Bm
+
Cn
)
V
dS
–
(4)
–
V
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
dx
dy
dz
,
где l, m, n - направляющие косинусы нормали к элементу поверхности dS. Подстановка в это уравнение выражений для поверхностной и объёмной плотностей магнитной материи, приведённых в п. 385, даёт
W
=
V
dS
+
V
dx
dy
dz
.
(5)
Уравнение (3) можно переписать в виде
W
=
–
(
A
+
B
+
C
)
dx
dy
dz
,
(6)
где , , и - составляющие внешней
О магнитном моменте и оси магнита
390. Если во всём пространстве, занятом магнитом, внешняя магнитная сила однородна и по направлению, и по величине, то составляющие , , постоянны. Записав
A
dx
dy
dz
=
lK
,
B
dx
dy
dz
=
mK
,
C
dx
dy
dz
=
nK
(7)
и распространив интегрирование на всё вещество магнита, величину W можно представить в виде
W
=
– K
(
l
+
m
+
n
).
(8)
В этом выражении l, m, n - направляющие косинусы оси магнита, K - его магнитный момент. Если обозначить через угол между осью магнита и направлением магнитной силы H то величину W можно переписать так:
W
=
– K
H
cos
.
(9)
Если магнит подвешен таким образом, что он может свободно вращаться, как обычная компасная стрелка, вокруг своей вертикальной оси, то, предположив, что он имеет азимут и наклонён на угол относительно горизонтальной плоскости, а направление силы земного магнетизма имеет азимут и наклонение , получим
=
Hcos cos ,
=
Hcos sin ,
=
H sin ;
(10)
l
=
cos cos ,
m
=
cos sin ,
m
=
sin ;
(11)
Откуда следует
W
=
– K
{
cos
cos
cos (-)
+
sin
sin
}.
(12)
Момент силы, стремящейся повернуть магнит вокруг вертикальной оси и увеличить угол , равен
–
dW
d
=
– KH
cos
cos
sin (-)
.
(13)
О разложении потенциала магнита по пространственным гармоникам
391. Пусть V - потенциал, создаваемый единичным полюсом, помещённым в точку (,,), его значение в точке x, y, z равно
V
=
{
(-x)^2
+
(-y)^2
+
(-z)^2
}
– 1/2