Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
где 12– косинус угла между осями, а 1 и 2 косинусы углов между радиус-вектором и осями.
Определим далее момент пары сил, с которым первый магнит стремится повернуть второй вокруг его центра.
Предположим, что второй магнит повернулся на угол d в плоскости, перпендикулярной некоторой третьей оси h3; тогда работа, совершенная против магнитных сил, будет равна (dW/d)d, а момент сил, действующий на магнит в этой плоскости,
–
dW
d
=-
m1m2
r^3
d12
d
–
3
1
d2
d
.
(5)
Истинный
m1m2
r^3
sin(h
1
h
2
)
,
(6)
в то время как вторая действует в плоскости, проходящей через r и ось второго магнита, и стремится уменьшить угол между этими направлениями; она имеет момент
3m1m2
r^3
cos(rh
1
)
sin(rh
2
)
,
(7)
где через (rh1), (rh2), (h1h2) обозначены углы между линиями r, h1, h2.
Для определения силы, действующей на второй магнит в направлении, параллельном линии h3, необходимо вычислить
–
dV
dh3
=
m
1
m
2
d^3
dh1dh2dh3
1
r
,
(8)
=
– m
1
m
2
3!Y3
r4
(по п. 129в),
=
3
m1m2
r4
{
1
23
+
2
31
+
3
12
+
1
2
3
}
(9)
(по п. 133),
=
3
3
m1m2
r4
(
12
– 5
1
2
)
+
3
13
m1m2
r4
2
+
(10)
+
3
23
m1m2
r4
1
.
Предположим,
3
R
+
13
H
1
+
23
H
2
.
(11)
Поскольку направление h3 произвольно, мы должны иметь
R
=
3m1m2
r4
(
12
– 5
1
2
)
,
H
1
=
3m1m2
r4
2
,
H
2
=
3m1m2
r4
1
.
(12)
Сила R является отталкивающей - она стремится увеличить r; силы H1 и H2 действуют на второй магнит в направлении осей первого и второго магнита соответственно.
Этот анализ сил, действующих между двумя маленькими магнитами, был впервые проведён профессором Тэтом в терминах кватернионного анализа в Quarterly Math. Journ. за январь 1860. См. также его работу по кватернионам (Quaternions, Arts 442-443, 2nd Edition).
Частные случаи расположения магнитов
388. (1). Если 1 и 2 одинаковы и равны единице, т.е. оси магнитов лежат на одной прямой и направлены вдоль неё, то 12=1 и сила отталкивания между магнитами будет равна
R
+
H
1
+
H
2
=-
6m1m2
r4
(13)
Отрицательный знак указывает на притяжение.