Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
603. К п. 603 имеется важное дополнение Д. Д. Томсона. Как известно, Максвелл не написал в трактате всех уравнений электромагнитного поля (которые в наше время известны как уравнения Максвелла), см. более подробно послесловие. Добавление Д. Д. Томсона (сделанное со ссылкой на Хевисайда) сводится к тому, что можно записать замкнутую систему уравнений для полей E, H и B; на полусовременном языке это добавление можно сформулировать следующим образом.
Для замкнутых «истинных» токов (под «истинным» током понимается сумма токов проводимости и смещения) можно описать электрическое поле уравнением
rot E
=-
1
c
B
t
,
которое
rot H
=
4
c
j
ист
,
материальными связями
B
=
H
и
j
ист
=
+
4
d
dt
и граничными условиями полностью определяет «состояние электромагнитного поля».
604. Максвелл считает, что сила со стороны магнитного поля действует на «истинный» ток, складывающийся из тока проводимости и тока смещения. Подробное разъяснение по этому вопросу приведено в послесловии.
631. При выводе выражения (5) для энергии электрического поля Максвелл исходит из соответствующих представлений в электростатике, где электрическая напряжённость потенциальна. Однако, как известно, этот результат сохраняется и для переменных вихревых полей. В этом месте в 3-м издании есть замечание Д. Д. Томсона, аргументирующее справедливость такого обобщения. Оно опущено нами, поскольку окончательное установление выражения для энергии опирается на закон сохранения её (теорему Пойнтинга), т.е. в известной мере содержит элемент постулирования.
632. Приводим комментарий проф. Нивена, извлечённый им из письма Максвелла профессору Кристалу (Chrystal). «В п. 389 энергия, обусловленная магнитом, имеющим составляющие намагниченности A, B, C и помещённым в магнитное поле с составляющими магнитной силы , , , принята равной
–
(
A
+
B
+
C
)
dx
dy
dz
,
где интегрирование ограничено областью магнита в предположении, что A, B, C обращаются в нуль всюду вне её.
Однако полная энергия записывается в виде
–
1
2
{
(A+A)
(+)
+…
}
dx
dy
dz
,
причём интегрирование распространяется на все части пространства, где находятся намагниченные тела, и A, B, C обозначают составляющие намагниченности в произвольной точке вне магнита.
Таким образом, полная энергия состоит из четырёх частей:
–
1
2
(A+…)
dx
dy
dz
,
(1)
эта часть постоянна,
–
1
2
(A+…)
dx
dy
dz
,
(2)
эта часть, согласно теореме Грина, равна
–
1
2
(A+…)
dx
dy
dz
,
(3)
и
–
1
2
(A+…)
dx
dy
dz
.
(4)
Последнюю часть мы также можем считать возникающей от жёсткой намагниченности и поэтому предполагать постоянной.
Следовательно, изменяемая часть энергии перемещаемого магнита с жёсткой намагниченностью является суммой выражений (2) и (3), а именно
–
1
2
(
A
+
B
+
C
)
dx
dy
dz
.
Помня, что смещение магнита изменяет значения , , , но не изменяет A, B, C, для составляющих силы, действующей на магнит в произвольном направлении , найдём
A
d
d
+
B
d
d
+
C
d
d
dx
dy
dz
.
Если же вместо магнита мы имеем тело, намагниченное через индукцию, выражение для силы должно быть таким же; поэтому, подставляя A=k,…, получим
k
d
d
+
d
d
+
d
d
dx
dy
dz
.
В этом выражении нужно положить =,,…, но, если намагниченное тело мало или мала величина k, мы можем пренебречь по сравнению с и получить выражение для силы, совпадающее с приведённым в п. 440:
d
d
1
2
k
(
^2
+
^2
+
^2
)
dx
dy
dz
.
Работа, совершаемая магнитными силами при уносе тела в бесконечность в случае, когда оно обладает небольшой индуктивной способностью и является намагниченным по индукции, равна только половине работы в случае такого же тела с такой же, но заданной жёсткой намагниченностью, поскольку индуцированный магнит теряет свою намагниченность по мере уноса его в бесконечность».
659. Со ссылкой на статью Максвелла (Royal Soc. Proc., XX, p. 160-168, см. также The Scientific Papers of J. C. Maxwell, vol. II, art. XLIX, p. 294) Нивен поясняет, что любое другое решение задачи отличается от приведённого в тексте системой замкнутых токов, зависящей от начальных условий, а не от каких-то внешних причин. Эта система токов быстро затухает; поэтому, если постулировать достаточную удалённость в прошлое начальных условий, приведённое в тексте решение будет единственным.