Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2., Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

p(APB)

p(CQB)

Отсюда

p(APBQCD)

p(ABQCD)

p(APB),

p(ABQCD)

p(CQB),

p(ABCD),

т.е. значение p не меняется при замене прямой линии AC на ломаную линию APQC, если охватываемая контуром площадь при этом не меняется существенно. Фактически это есть принцип, установленный вторым опытом Ампера (п. 506), где показано,

что искривлённый участок контура эквивалентен прямолинейному при условии, что ни одна из его частей заметно не удалена от прямолинейного участка.

Следовательно, если мы заменим элемент ds на три малых элемента dx, dy и dz, проведённых в такой последовательности, чтобы образовать непрерывный путь от начала элемента ds к его концу, и если через Fdx, Gdy и Hdz, мы обозначим элементы линейного интеграла, соответствующие dx, dy, dz, то

Jds

Fdx

Gdy

Hdz

(4)

590. Мы теперь в состоянии установить, каким образом величина J зависит от направления элемента ds, поскольку согласно (4)

(5)

Это есть выражение для составляющей (в направлении ds) вектора, компоненты которого в направлениях x, y и z равны F, G и H соответственно.

Обозначим этот вектор через A, а вектор, проведённый из начала координат в точку на контуре,- через , тогда элемент контура будет равен d, и кватернионным выражением для Jds будет -S.Ad.

Мы можем теперь записать уравнение (2) в виде

(6)

или

–

S.Ad

(7)

Вектор A и его составляющие F, G, H зависят от положения элемента ds в поле, но не от направления, в котором он проведён. Следовательно, они являются функциями координат x, y, z элемента ds, но не его направляющих косинусов l, m, n.

Вектор A и по направлению, и по величине представляет собой интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, действие которой испытывала бы частица, помещённая в точку (x,y,z) при внезапном прекращении первичного тока. Поэтому мы назовём его Электрокинетическим Импульсом в точке (x,y,z). Он равен той величине, которую мы исследовали в п. 405 под названием вектор-потенциала магнитной индукции.

Электрокинетический импульс любой конечной линии или контура есть линейный интеграл вдоль этой линии или контура от составляющей электрокинетического импульса в каждой точке этой линии или контура.

591. Найдём теперь значение p для элементарного прямоугольника ABCD, сторонами которого являются dy и dz, а положительным направлением - направление от оси y к оси z [рис. 37].

Рис. 37

Пусть

координатами O центра тяжести элемента будут xo, yo, zo, а Go, Ho– значения G и H в этой точке.

Координаты A - средней точки первой стороны прямоугольника - равны yo и zo– dz/2. Соответствующее значение G есть

–

…,

(8)

и часть величины p, возникающая со стороны A, приблизительно равна

–

(9)

Аналогично

для

– G

–

для

– H

Складывая эти четыре величины, находим значение p для четырехугольника, а именно

–

(10)

Если теперь ввести три новых величины a, b, c, таких, что

–

(A)

и рассматривать их в качестве составляющих нового вектора B, тогда, согласно теореме IV п. 24, мы можем выразить линейный интеграл от A вдоль любого замкнутого контура в виде поверхностного интеграла от B, взятого по поверхности, ограниченной контуром, таким образом: