Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
s=
s=0
(sc+a ch ) ch(s+)
c(sh (s+))^2
.
Сэр Уильям Томсон рассчитал силу между двумя сферами равного радиуса, находящимися на произвольном расстоянии, не превышающем диаметра одной из сфер. Для больших расстояний нет необходимости использовать больше двухтрех последовательных изображений.
Ряды для производных q по c могут быть легко получены прямым дифференцированием
dqaa
dc
=
–
2a^2bc
(c^2-b^2)^2
–
2a^3b^2c(2c^2-2b^2-a^2)
(c^2-b^2+ac)^2(c^2-b^2-ac)^2
– …
dqab
dc
=
ab
c^2
+
a^2b^2(3c^2-a^2-b^2)
c^2(c^2-a^2-b^2)^2
+
+
a^3b^3{(5c^2-a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)-a^2b^2}
c^2(c^2-a^2-b^2+ab)^2(c^2-a^2-b^2-ab)^2
+…
dqbb
dc
=
–
2ab^2c
(c^2-a^2)^2
–
2a^2b^3c(2c^2-2a^2-b^2)
(c^2-a^2+bc)^2(c^2-a^2-bc)^2
– …
Распределение
175. Если рассмотреть две такие сферы при единичном потенциале, на которые не воздействуют никакие другие заряды, то при инверсии системы по отношению к точке соприкосновения мы получим две параллельные плоскости, отстоящие на расстоянии 1/(2a) и 1/(2b) от точки инверсии, электризация которых определяется действием положительного единичного заряда, находящегося в этой точке.
Возникнет последовательность положительных изображений с единичным зарядом на расстояниях s(1/a+1/b) от начала координат, где s может принимать все целые значения от - до +.
Кроме того, будет и последовательность отрицательных изображений с зарядом -1, расстояние которых от начала координат, отсчитываемое в направлении a равно
1
a
+
s
1
a
+
1
b
.
При обратной инверсии этой системы в две соприкасающиеся сферы положительным изображениям соответствует последовательность отрицательных изображений, расстояние которых от точки соприкосновения даётся выражением
1
,
s
1
+
1
a
b
где s - положительно для сферы A и отрицательно для сферы B. при единичном потенциале сфер заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от точки соприкосновения и всегда отрицателен.
Кроме того, будет существовать последовательность положительных изображений, соответствующая отрицательным изображениям для двух плоскостей; расстояния этих положительных изображений от точки соприкосновения, отсчитываемые в направлении центра сферы A, равны
1
.
1
+
s
1
+
1
a
a
b
При s равном нулю или целому положительному числу изображение находится
Таким образом, полный заряд сферы A равен
E
a
=
s=
s=0
1
–
ab
s=
s=1
1
.
1
+
s
1
+
1
a+b
s
a
a
b
Оба эти ряда расходятся, но если их скомбинировать в виде
E
a
=
s=
s=1
a^2b
s(a+b){s(a+b)-a}
,
то ряд становится сходящимся.
Аналогично для заряда на сфере B получим
E
b
=
s=
s=1
ab
s(a+b)-b
–
ab
a+b
s=-
s=-1
1
s
=
=
ab^2
s(a+b){s(a+b)-a}
.
Очевидно, выражение для Ea равно
ab
a+b
1
0
(b/(a+b))-1– 1
1-
d
.
Последний результат для этого случая был получен Пуассоном.
Можно также показать (Legendre, Trait'e des Fonctions Elliptiques, II, 438), что приведённый выше ряд для Ea равен
a
–
+
b
a+b
ab
a+b
,
где =0,57712..., а (x)=d/dx·ln (1+x).
Таблицы значений приведены Гауссом (Werke, Band III, р. 161-162).
Если временно обозначить b/(a+b) через x то разность зарядов Ea и Eb запишется в виде
–
d
dx
ln[(x)(1-x)]
ab
a+b
=
ab
a+b
d
dx
ln sin x
=
=
ab
a+b
ctg
b
a+b
.
Для одинаковых сфер заряд каждой равен при единичном потенциале
E
a
=
a
s=
s=1
1
2s(2s-1)
=
a
1-
1