Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Тогда для аналогичного представления функции (+) нужно провести кривые через точки пересечения предыдущих семейств кривых, соединив точку пересечения кривых и с точкой пересечения кривых (+) и (-), далее с точкой пересечения (+2) и (-2) и т.д. Во всех этих точках функция имеет одно и то же значение (+). Следующая кривая может быть проведена через точки пересечения и (+), (+) и , (+2) и (-) и т. д. Этой кривой соответствует значение функции (++).
Таким образом, можно по имеющемуся семейству кривых и семейству построить семейство кривых (+). Эти три семейства кривых могут быть построены на отдельных листах прозрачной бумаги. Совместив соответственно первый
Комбинируя таким образом сопряжённые функции с помощью сложения, можно легко получить графики для многих интересных случаев, если только мы можем построить их для более простых случаев, входящих в качестве слагаемых. Однако в нашем распоряжении имеется и значительно более мощный метод преобразования решений, даваемый следующей теоремой.
185.Теорема II.Пусть x'' и y'' – сопряжённые функции по отношению к переменным x' и y', а x' и y' – сопряжённые функции по отношению к x и y, тогда x'' и y'' будут сопряжёнными функциями по отношению к x и y.
Действительно,
dx''
dx
=
dx''
dx'
dx'
dx
+
dx''
dy'
dy'
dx
=
dy''
dy'
dy'
dy
+
dy''
dx'
dx'
dy
=
dy''
dy
и
dx''
dy
–
dx''
dx'
dx'
dy
+
dx''
dy'
dy'
dy
=-
dy''
dy'
dy'
dx
–
dy''
dx'
dx'
dx
=
–
dy''
dx
,
а это как раз условия того, что x'' и y'' - сопряжённые функции от x и y
Это можно показать также, исходя из первоначального определения сопряжённых функций. Поскольку x''+-1y'' является функцией от x'+-1y' а x'+-1y' является функцией от x+-1y, то x''+-1y'' является функцией от x+-1y.
Точно так же можно показать, что если x' и y' - сопряжённые функции от x и y, то x и y - сопряжённые функции от x' и y.
Эту теорему можно графически интерпретировать следующим образом.
Пусть x' и y' приняты за прямоугольные координаты и на чертеже построены кривые, соответствующие значениям x'' и y'', взятым в арифметической прогрессии. Мы получим, таким образом, два семейства кривых, разбивающих чертёж на квадратики. Построим также на чертеже горизонтальные и вертикальные прямые на равных расстояниях друг от друга, пометив их соответствующими значениями x' и y'.
Пусть теперь на другом чертеже x и y приняты за прямоугольные координаты и построено два семейства кривых x', y', помеченных соответствующими значениями x' и y'.
Таким образом, если взять произвольное число точек на кривой x'' первого чертежа, заметить значения x' и y' в этих точках и отметить соответствующие точки на втором чертеже, то мы получим ряд точек преобразованной кривой x''. Если проделать такое построение для всех кривых x'' и y'' первого чертежа, то на втором чертеже получится два семейства кривых x'', y'' отличающихся от прежних, но обладающих тем же свойством разбиения чертежа на квадратики.
186.Теорема III.Если V – произвольная функция от x' и y, а x' и y' – сопряжённые функции от x и y, то
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
dx
dy
=
d^2V
dx'^2
+
d^2V
dy'^2
dx'
dy'
,
где интегрирование справа и слева производится в соответствующих пределах.
Действительно,
dV
dx
=
dV
dx'
dx'
dx
+
dV
dy'
dy'
dx
,
d^2V
dx^2
=
d^2V
dx'^2
dx'
dx
^2
+2
d^2V
dx'dy'
dx'
dx
dy'
dx
+
d^2V
dy'^2
dy'
dx
^2
+
+
dV
dx'
d^2x'
dx^2
+
dV
dy'
d^2y'
dx^2
,
d^2V
dy^2
=
d^2V
dx'^2
dx'
dy
^2
+2
d^2V
dx'dy'
dx'
dy
dy'
dy
+
d^2V
dy'^2
dy'
dy
^2
+
+
dV
dx'
d^2x'
dy^2
+
dV
dy'
d^2y'
dy^2
.
Складывая два последних уравнения и учитывая условие (1) для сопряжённых функций, получим