Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Изолируем теперь всю систему, внесём её внутрь сферы диаметра f и зададим на этой сфере равномерное жёсткое распределение заряда с поверхностной плотностью '.
Внутри этой сферы не будет никакой результирующей силы, так что распределение электричества на чаше останется неизменным, но потенциал во всех точках внутри сферы возрастёт на величину V равную V=2'f.
Таким образом, потенциал во всех точках чаши станет равным V.
Пусть теперь эта сфера концентрична сфере, частью которой является чаша, и путь её радиус лишь на бесконечно малую величину больше радиуса этой последней сферы. Мы приходим при этом к случаю чаши, поддерживаемой
180. Остаётся предположить, что +=0, и мы получим случай чаши, поддерживаемой под потенциалом V и свободной от внешнего воздействия.
Пусть - плотность на любой из поверхностей чаши в заданной точке в случае, когда потенциал чаши равен нулю, а оставшаяся часть сферы заряжена с плотностью Тогда для чаши, находящейся под потенциалом V, следует увеличить плотность на наружной стороне на ', где ' - плотность на охватывающей сфере.
В результате таких расчётов получим, что поверхностная плотность на поверхности внутри чаши равна
=
V
2^2f
f^2-a^2
a^2-r^2
1/2
– arctg
f^2-a^2
a^2-r^2
1/2
,
а поверхностная плотность снаружи в той же точке равна +(V/2f) Здесь f - диаметр сферы, a - хорда радиуса чаши, r - хорда расстояния P от полюса чаши.
Эти формулы получаются простым интегрированием по части сферической поверхности. Для построения полной теории электризации сферической чаши нам понадобилось лишь знание геометрии инверсии сферических поверхностей.
181. Пусть требуется определить поверхностную плотность, наводимую в произвольной точке заземлённой чаши количеством электричества q, помещённым в точку Q, не расположенную теперь, на сферической поверхности, являющейся продолжением чаши.
Произведём инверсию чаши по отношению к Q, приняв радиус сферы инверсии равным R. Чаша S перейдёт в своё изображение S', а точка P -в своё изображение P'. Нам нужно определить плотность ' в P' для чаши S', поддерживаемой под потенциалом V', таким, что q=V'R, и не подверженной внешним влияниям.
Плотность в точке P первоначальной чаши будет равна =-('R^3/QP^3). причём эта чаша будет находиться под нулевым потенциалом и под воздействием количества электричества q, помещённого в точку Q.
Такая процедура приводит к следующему результату.
Рис. 16
Пусть рис. 16 представляет собой сечение сферы через центр O полюс чаши C и индуцирующий точечный заряд Q. Точка D соответствует в инвертируемой фигуре незанятому полюсу ободка чаши и может быть найдена следующим построением.
Проведём через Q хорды EQE' и FQF' Если принять радиус инверсии сферы равным среднему геометрическому между отрезками, на которые делится хорда в точке Q, то E'F' будет изображением EF. Пусть точка D' делит дугу F'CE' пополам, так что F'D' равно D'E'. Проведём прямую D'QD
=
q
2^2
QH·QH'
HH'·PQ^3
PQ
DQ
CD^2-a^2
a^2-CP^2
1/2
–
–
arctg
PQ
DQ
CD^2-a^2
a^2-CP^2
1/2
,
где a означает хорду, проведённую из полюса чаши D до ободка чаши. На ближайшей к Q стороне поверхностная плотность равна
+
q
2^2
QH·QH'
HH'·PQ^3
.
ГЛАВА XII
ТЕОРИЯ СОПРЯЖЁННЫХ ФУНКЦИЙ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ
182. Число независимых случаев, в которых решена задача электрического равновесия, весьма невелико. Для сферических проводников развит метод сферических гармоник. Ещё более мощными являются методы электрических изображений и инверсии в тех случаях, когда они применимы. Случай поверхностей второго порядка, насколько я знаю, - единственный, для которого известны и эквипотенциальные поверхности, и силовые линии, причём силовые линии не являются плоскими кривыми.
Но существует важный класс задач в теории электрического равновесия и в теории прохождения тока, в которых рассматривается лишь двумерное пространство.
Так, например, если всюду в рассматриваемой части электрического поля и на значительном расстоянии вне её поверхности всех проводников образованы движением прямых линий, параллельных оси z, а та часть поля, где это не имеет места, настолько удалена от рассматриваемой части, что её электрическим действием можно пренебречь, то электричество будет равномерно распределено вдоль всех образующих, и если рассмотреть участок поля, ограниченный двумя плоскостями, перпендикулярными оси z и находящимися на единичном расстоянии, то потенциал и распределение электричества будут функцией лишь от x и y.
Пусть dxdy - количество электричества в элементе объёма с площадью основания dxdy и единичной высотой, a ds - количество электричества на элементе площади с основанием ds и единичной высотой. Тогда уравнение Пуассона можно написать в виде
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
4
=
0.
При отсутствии свободных зарядов оно сводится к уравнению Лапласа
d^2V
dx^2
+
d^2V