Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Существуют определённые поверхности, потоки через которые равны нулю. Если две из них пересекаются, то линия пересечения является линией потока. В тех случаях, когда поток совпадает по направлению с силой, линии подобного рода называют Линиями Силы. Однако было бы правильнее в электростатике и магнитостатике говорить о них как о линиях индукции, а в электрокинематике - как о Линиях Тока.
15. Существует ещё одно различие между двумя разными видами направленных величин, хотя и очень важное с физической точки зрения, однако не настолько необходимое, чтобы его следовало отмечать ради применения математических методов. Речь идёт о различии
Направление и модуль величины могут зависеть от какого-то действия или эффекта, целиком и полностью происходящего вдоль определённой линии, а могут зависеть от чего-то иного, имеющего характер вращения вокруг этой линии, принимаемой за ось. Законы сложения направленных величин, и поступательных (продольных), и вращательных, одинаковы, так что при математическом рассмотрении между величинами этих двух классов нет никаких различий, однако могут существовать некие физические обстоятельства, указывающие, к какому из классов мы обязаны отнести данное частное явление. Так, электролиз состоит в переносе некоторых веществ вдоль линии в одном направлении и некоторых других веществ в противоположном направлении; он представляет собой, очевидно, явление поступательное (продольное), в нём нет никаких признаков эффекта вращения вокруг направления силы.
Отсюда мы делаем вывод, что и электрический ток, который вызывает или сопровождает электролиз, относится к поступательным (продольным), а не к вращательным явлениям.
С другой стороны, северный и южный полюса магнита разделяются не так, как кислород и водород, которые в процессе электролиза появляются на противоположных местах, поэтому у нас нет свидетельства в пользу того, что магнетизм относится к продольным явлениям; в то же время действие магнетизма при вращении плоскости поляризации плоско поляризованного света отчётливо показывает, что магнетизм относится к явлениям вращательным.
О линейных интегралах
16. Операция интегрирования проекции векторной величины вдоль линии имеет важное значение в физике, и потому её следовало бы ясно понимать.
Пусть x, y, z - координаты точки P, расположенной на некоторой кривой, длина которой, измеряемая от определённой точки A, равна s. Эти координаты будут функциями только одной переменной s.
Обозначим через R численное значение векторной величины в точке P, и пусть касательная к кривой в этой точке образует с направлением R угол . Тогда величина R cos представляет собой составляющую R вдоль кривой, а интеграл
L=
s
0
R cos
ds
называется линейным интегралом от R вдоль s.
Это выражение может быть записано так:
L=
s
0
X
dx
ds
+
Y
dy
ds
+
Z
dz
ds
ds
,
где X, Y, Z - составляющие R, параллельные осям x, y, z соответственно.
В общем случае этот интеграл для различных линий, проведённых между A и P различен. Но когда внутри некоторой области величина
Xdx
+
Ydy
+
Zdz
=
– D
является полным дифференциалом, то интеграл L становится равным L=A– P.
О потенциалах
Величина есть скалярная функция положения точки, и поэтому она не зависит от направлений отсчёта. Её называют Потенциальной Функцией; а про векторную величину с компонентами X, Y, Z говорят, что она имеет потенциал , если
X
=-
d
dx
,
Y
=-
d
dy
,
Z
=-
d
dz
.
Если потенциальная функция существует, то поверхности, на которых потенциал постоянен, называются Эквипотенциальными. В любой точке такой поверхности направление R совпадает с нормалью к ней; если обозначить через n нормаль в точке P то R=-(d/dn).
Метод представления составляющих вектора через первые производные по координатам от некоторой функции этих координат был предложен Лапласом 4 при разработке теории притяжений. Само название «Потенциал» впервые было дано этой функции Грином 5, который положил её в основу своего подхода к изучению электричества. Эта работа Грина осталась незамеченной математиками вплоть до 1846 года, а к тому времени большая часть содержащихся в ней важных теорем была уже переоткрыта Гауссом, Шалем (Chasles), Штурмом и Томсоном 6.
4M'ec. C'eleste, liv. III.
5 Essay on the Application of Mathematical Analisys to the Theories of Electricity and Magnetism, 1828. Reprinted in Crelle’s Journal and in Mr. Ferrers’ edition of Green’s Works.
6 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 483.
В теории тяготения потенциал берётся со знаком, противоположным тому, который используется здесь, и результирующая сила в каком-либо направлении тогда измеряется скоростью возрастания потенциальной функции в этом направлении. При изучении электричества и магнетизма потенциал определяется так, что результирующая сила в каком-либо направлении измеряется скоростью убывания потенциала в этом направлении. Такой способ использования выражения для потенциала приводит его в соответствие (по знаку) с потенциальной энергией, которая всегда убывает при перемещении тел в направлении действующих на них сил.
17. Геометрическая природа связи потенциала с вектором, вычисляемым через потенциал указанным способом, значительно проясняется благодаря открытию Гамильтоном выражения для оператора, при помощи которого вектор вычисляется из потенциала.
Как мы видели, составляющая вектора в каком-либо направлении равна взятой с обратным знаком первой производной от потенциала по координате в этом направлении.
Пусть i, j, k - три единичных вектора, образующих между собой прямые углы, а X, Y, Z - параллельные им составляющие вектора F тогда