Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Сложение одной векторной величины с другой, однотипной с ней, производится в соответствии с правилом сложения сил в статике. Действительно, доказательство, которое даёт Пуассон для «параллелограмма сил», применимо к составлению любых величин, перевёртывание (перестановка концов) которых равносильно обращению их знака.
В тех случаях, когда у нас появится желание обозначить векторную величину одним символом и привлечь внимание к тому факту, что она является вектором и что у неё необходимо рассматривать как направление, так и модуль, мы будем прибегать к заглавным готическим буквам, например A, B, …
В
12. Физические векторные величины можно разделить на два класса: в одном из них величина определена относительно линии, в другом - относительно площади.
Так, например, результирующую силу притяжения можно измерить, отыскав работу, которую она произвела бы над телом при его перемещении на малое расстояние в направлении силы, и поделив её на величину этого малого расстояния. Здесь сила притяжения определена относительно линии.
С другой стороны, поток тепла в каком-либо направлении в какой-либо точке твёрдого тела может быть определён как количество тепла, которое проходит через маленькую площадку, проведённую перпендикулярно к данному направлению, делённое на величину этой площадки и на время. Здесь поток определён относительно площадки.
Существуют некоторые случаи, в которых одна и та же величина может быть измерена и относительно линии, и относительно площадки.
Так, при рассмотрении смещений в упругих телах мы можем обратить внимание либо на начальное и фактическое положения частицы, и в этом случае её смещение измеряется линией, проведённой из первого положения во второе; либо мы можем рассматривать маленькую фиксированную в пространстве площадку и определить, какое количество вещества проходит через эту площадку за время смещения.
Точно так же можно исследовать и скорость жидкости, принимая во внимание либо действительную скорость отдельных её частей, либо количество жидкости, протекающей через какую-либо фиксированную площадку.
Однако для применения первого метода в обоих этих случаях наряду со смещением или скоростью требуется независимо знать плотность тела; второй же метод должен применяться всякий раз при попытках построения молекулярной теории.
В случае потока электричества в проводнике мы не знаем ничего ни о его плотности, ни о скорости, нам известна лишь та величина, которая в теории жидкости соответствовала бы произведению плотности на скорость. И поэтому во всех таких случаях следует применять более общий метод измерения потока через площадку.
В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряжённости
Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принадлежат к величинам второго класса - они определены относительно площади. При желании отметить это обстоятельство мы будем, ссылаясь на них, именовать их Потоками.
Можно считать, что каждая из этих напряжённостей производит (или стремится произвести) соответствующий ей поток. Так, электродвижущая напряжённость создаёт электрические токи в проводниках и стремится создать их в диэлектриках. Она создаёт электрическую индукцию в диэлектриках, а возможно, и в проводниках тоже. В этом же смысле магнитная напряжённость производит магнитную индукцию.
13. В одних случаях поток оказывается просто пропорциональным напряжённости и совпадающим с ней по направлению, в других - мы можем только утверждать, что и его направление, и его величина являются функциями направления и величины напряжённости.
Случай, в котором составляющие потока представляют собой линейные функции составляющих напряжённости, обсуждается в п. 297 главы «Уравнения Проводимости». Связь между напряжённостью и потоком определяется, вообще говоря, девятью коэффициентами. Но иногда у нас есть основания полагать, что шесть из них образуют три пары равных между собой величин. Тогда связь между линией, вдоль которой направлена напряжённость, и плоскостью, нормальной к потоку, подобна связи между полудиаметром эллипсоида и сопряжённой ему диаметральной плоскостью. На кватернионном языке в этом случае говорят, что один из векторов является линейной векторной функцией другого, а когда существует три попарно одинаковых коэффициента, то эту функцию называют самосопряжённой.
В случае магнитной индукции в железе поток (намагниченность железа) не является линейной функцией интенсивности намагничивания. Однако во всех случаях произведение напряжённости (интенсивности) на поток, спроектированный на направление напряжённости, приводит к важному научному результату. И это произведение всегда является скалярной величиной.
14. С этими двумя классами векторов или направленных величин связаны две часто встречающиеся математические операции.
В случае напряжённости следует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую напряжённости вдоль этого элемента. Результат такой операции называется Линейным (криволинейным) интегралом от напряжённости. Он представляет собой работу, производимую над телом, перемещаемым вдоль этой линии. В некоторых случаях, когда линейный интеграл не зависит от формы линии, а зависит только от положения её конечных точек, линейный интеграл называется Потенциалом.
В случае потоков следует брать интеграл по поверхности от потока через каждый из её элементов. Результат этой операции называется Поверхностным интегралом от потока, он представляет собой то количество, которое проходит через поверхность.