Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
2
+ и т.д. +
K
pp
P
p
+ и т.д. +
K
pn
P
n
=
=
K
p1
E
1
+ и т.д. +
K
pn
E
n
–
Q
p
.
(8)
Полагая в этом уравнении индекс p
Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно n-1. Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе.
Если мы обозначим через D определитель
K
11
,
K
12
,
…,
K
1(n-1)
,
,
K
21
,
K
22
,
…,
K
2(n-1)
,
…,
…,
…,
…,
K
(n-1)1
,
K
(n-1)2
,
…,
K
(n-1)(n-1)
,
(9)
а через Dpq– минор элемента Kpq, мы получим для величины Pp– Pn выражение
(P
p
– P
n
)D
=
(K
12
E
12
+ и т.д.
– Q
1
)D
p1
+
+
(K
21
E
21
+ и т.д.
– Q
2
)D
p2
+ и т.д. +
+
(K
q1
E
q1
+ и т.д. +K
qn
E
qn
– Q
q
)D
pq
+ и т.д.
(10)
Тем же путём можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем Aq, над потенциалом точки An. После этого мы можем определить ток между точками Ap и Aq из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу.
281. Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества.
В выражении для потенциала Pp коэффициент при Qq
Но величина Dpq отличается от Dqp только заменой символов, при которой все Kqp переходят в Kpq. Как следует из соотношения (2), эти две последние величины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому
D
pq
=
D
qp
.
(11)
Отсюда следует, что та часть потенциала в точке Ap которая обусловлена введением единичного тока в точку Aq, равна той части потенциала в точке Aq, которая обусловлена введением одиночного тока в точку Ap.
Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.
Пусть A, B, C, D - любые четыре точки системы, и пусть ток Q входит в систему через точку A и выходит через точку B, создавая превышение потенциала в точке C над потенциалом в точке D на величину P. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток Q будет входить в систему через точку C и выходить через точку D, то потенциал в точке A будет превышать потенциал в точке B на ту же самую величину P.
Если ввести электродвижущую силу E, действующую на проводник от A к B, и если эта электродвижущая сила вызывает ток C от X к Y, то та же самая электродвижущая сила E, введённая в проводник в направлении от X к Y, вызовет точно такой же ток C от A к B.
Источником электродвижущей силы E может быть вольтова батарея, введённая между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось.
282 а. Если электродвижущая сила Epq действует вдоль проводника ApAq, легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы ApAs:
K
rs
K
pq
E
rs
(
D
rp
+
D
sq
–
D
rp
–
D
sp
)/
D
.
Ток равен нулю, если
D
rp
+
D
sq
–
D
rp
–
D
sp
=
0.
(12)
Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль ArAs ток в проводнике ApAq равен нулю. Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряжёнными.
Теория сопряжённых проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.