Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.
2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление.
Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (1) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.
282 б1. Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой её ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов,
Rx
–
sy
–
tz
– и т.д. =
E
.
1 Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемингом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж). См. также статью м-ра Флеминга. Phil. Mag., XX, р. 221, 1885 (примечание Нивена).
Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмём устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п. 347. Применяя это правило к случаю трёх контуров OBC, OCA и OAB в которых циркулируют токи x, y, z соответственно, мы получим три уравнения, а именно
(a++)
x
–
y
–
z
=E,
–
x
+(b++)
y
–
z
=0,
–
x
–
y
+(c++)
z
=0.
Из этих уравнений мы можем определить величину z-y, ток, текущий через гальванометр в ответвлении OA. Мы, однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона.
Тепло, производимое в системе
283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением R при протекании тока C определяется в согласии с п. 242 формулой
JH
=
RC^2
.
(13)
Нам, следовательно, нужно определить сумму величин RC^2 для всех проводников системы.
Проводник, соединяющий точки Ap и Aq имеет проводимость Kpq и сопротивление Rpq, причём
K
pq
R
pq
=
1.
(14)
Ток в этом проводнике по закону Ома равен
C
pq
=
K
pq
(P
p
– P
q
)
.
(15)
Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно Xpq, где
X
pq
=
C
pq
Y
pq
.
(16)
Чтобы
JH
=
{
R
pq
C^2
pq
+
2R
pq
C
pq
Y
pq
+
R
pq
Y^2
pq
}
(17)
Внося значения Cpq и помня соотношение между Kpq и Rpq, получаем
[
(P
p
– P
q
)
(C
pq
+2Y
pq
)
+
R
pq
Y^2
pq
].
(18)
Теперь, поскольку и величины C и величины Y должны удовлетворять условию непрерывности в точке Ap, мы имеем
Q
p
=
C
p1
+
C
p2
+ и т.д. +
C
pn
,
(19)
Q
p
=
X
p1
+
X
p2
+ и т.д. +
X
pn
,
(20)
и, следовательно,
0
=
Y
p1
+
Y
p2
+ и т.д. +
Y
pn
.
(21)
Поэтому, складывая все члены в (18), мы находим
(
R
pq
X^2
pq
)
=
P
p
Q
p
+
R
pq
X^2
pq
.
(22)
Поскольку величины R всегда положительны и величины Y^2 существенно положительны, последний член этого равенства должен быть существенно положителен. Следовательно, первый член правой части даёт минимальное значение всего выражения, соответствующее тому случаю, когда величина Y в каждом проводнике обращается в нуль и ток в каждом проводнике определяется законом Ома.