Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
1
C
exp
–
4k1
r1
t
.
Поэтому значение E в любой момент равно
E
0
a1r1
R
–
4a
1
k
1
C
exp
–
4k1
r1
t
+
+
a2r2
R
–
4a
2
k
2
C
exp
–
4k2
r2
t
+
,
(24)
и мгновенный заряд по истечении любого времени t равен EC. Эта величина и называется остаточным разрядом.
Если отношение r/k имеет одно и то же значение для всех слоёв, величина E сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины.
Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при t=0 имеем E=0. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях t. Таким образом, при положительных t величина E также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд.
Если время t бесконечно велико, все слагаемые исчезают, если только некоторые из слоёв не являются идеальными изоляторами. В этом случае для такого слоя величина r1 бесконечна, значение R для всей системы также становится бесконечным и значение E в конце равно не нулю, а
E
=
E
0
(1-4a
1
k
1
C)
.
(25)
Таким образом, если некоторые, но не все из слоёв оказываются идеальными изоляторами, остаточный разряд может постоянно удерживаться в системе.
330. Мы теперь определим полный разряд через провод с сопротивлением R0, соединённый всё время с крайними слоями системы, предполагая, что эта система сперва была заряжена с помощью приложенной на долгое время электродвижущей силы E0.
Для любого момента времени мы имеем
E
=
a
1
r
1
p
1
+
a
2
r
2
p
2
+ и т.д.+
R
0
u
=
0,
(26)
кроме того, с учётом (3),
u
=
p
1
+
df1
dt
.
(27)
Отсюда
(R+R
0
)
u
=
a
1
r
1
df1
dt
+
a
2
r
2
df2
dt
+
(28)
Интегрируя по t, для того чтобы найти Q, получаем
(R+R
0
)
Q
=
a
1
r
1
(f'
1
– f
1
)
+
a
2
r
2
(f'
2
– f
2
)
+ и т.д.,
(29)
где f1– начальное, а f'1– конечное значения величины f1.
В нашем случае f'1=0, и с учётом (2) и (20) имеем
f
1
=
E
0
r1
4k1R
–
C
.
Отсюда
(R+R
0
)
Q
=
–
E
4R
a1r1^2
k1
+
a2r2^2
k2
+ и т.д.
+
E
0
CR
,
(30)
=
–
CE0
R
a
1
a
2
k
1
k
2
r1
k1
–
r2
k2
,
(31)
где суммирование проводится по всем выражениям этого вида, относящимся к каждой паре слоёв.
Отсюда следует, что величина Q всегда отрицательна, т. е. имеет, так сказать, противоположное направление по отношению к направлению того тока, который использовался при зарядке системы.
Это исследование показывает, что диэлектрик, составленный из различного рода слоёв, проявляет свойства, известные как электрическое поглощение и остаточный разряд, хотя ни одно из веществ, составляющих этот диэлектрик, взятое само по себе, не проявляет этих свойств. Рассмотрение таких случаев, в которых вещества расположены иначе, чем слоями, привело бы к сходным результатам, хотя соответствующие вычисления были бы более сложными. Поэтому мы можем заключить, что явления электрического поглощения возможны для таких веществ, которые составлены из частей различной природы, даже несмотря на то, что эти части могут быть микроскопически малы.