Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
E
+
r
4k
dE
dt
=
(a
1
r
1
+a
2
r
2
+ и т.д.)
u
.
(12)
Это - тот случай, уже рассмотренный в п. 326, в котором, как мы нашли, явление остаточного заряда не может иметь места.
Если имеется n веществ с различными значениями отношения r/k, общее уравнение (11) после избавления от обратных операций будет линейным дифференциальным
Из вида уравнения ясно, что порядок, в котором различные слои следуют друг за другом, безразличен, так что, если имеется несколько слоёв, сделанных из одного и того же вещества, мы можем считать, что они объединены в один и явления при этом не меняются.
329. Теперь предположим, что сначала f1, f2 и т. д. все равны нулю и что электродвижущая сила E0 внезапно начинает действовать, и найдём её мгновенный эффект.
Интегрируя (8) по времени, мы находим
Q
=
u
dt
=
1
r1
X
1
dt
+
1
4k1
X
1
+ const,
(13)
Но, поскольку величина X1 в этом случае всегда конечна, X1dt представляет собой неощутимо малую величину, если t есть неощутимо малая величина. Поэтому, так как величина X1 первоначально равнялась нулю, мгновенный результат будет
X
1
=
4k
1
Q
1
.
(14)
Отсюда, согласно уравнению (10),
E
0
=
4
(k
1
a
1
+k
2
a
2
+ и т.д.)
Q
,
(15)
и если C - электрическая ёмкость системы, измеренная таким мгновенным способом, то
C
=
Q
E0
=
1
4(k1a1+k2a2+ и т.д.)
.
(16)
Как раз такой результат мы получили бы, если бы пренебрегли проводимостью слоёв.
Предположим далее, что электродвижущая сила E0 остаётся неизменной в течение неопределённо долгого времени или до тех пор, пока в системе не установится постоянный ток проводимости, равный p.
Мы тогда имеем X1=r1p и т. д., и поэтому, с учётом (10),
E
0
=
(r
1
a
1
+r
2
a
2
+ и т.д.)
p
.
(17)
Если R -
R
=
E0
p
=
r
1
a
1
+r
2
a
2
+ и т.д.
(18)
В этом состоянии из (2) имеем
f
1
=
r1
4k1
p
,
так что
12
=
r2
4k2
–
r1
4k1
p
.
(19)
Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение E быстро изменится от начального значения E0 до нуля, а через проводник пройдёт некоторое количество электричества Q.
Для того чтобы определить величину Q, заметим, что если X'1 есть новое значение величины X1 то, с учётом (13),
X'
1
=
X
1
+
4k
1
Q
.
(20)
Отсюда, с учётом (10), полагая E0, получаем
0
=
a
1
X
1
+ и т.д.+
4
(a
1
k
1
+a
2
k
2
+ и т.д.)
Q
,
(21)
или
0
=
E
0
+
1
C
Q
.
(22)
Отсюда Q=-CE0, где C - ёмкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду.
Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь u=0, так что, согласно уравнению (8),
X
1
=
X'
1
exp
–
4k1
r1
t
,
(23)
где X'1 есть начальное значение после разряда.
Отсюда для любого момента t получаем, с учётом (23) и (20):
X
1
=
E
0
r1
R
–
4k