Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
r
1
–
r
3
=
cc'
c+c'
·
(r-r')^2
(cr'+c'r)
,
разбиение на слои приводит к тому, что в направлении, перпендикулярном слоям, сопротивление оказывается наибольшим, а сопротивления по всем направлениям в плоскости слоёв одинаковы.
322. Возьмём изотропную среду проводимости r, разобьём её на исключительно тонкие слои толщиной a и расположим их попеременно со слоями вещества, проводимость которого равна s, а толщина k1a.
Пусть эти
Наконец, разобьём этот новый проводник на ещё более толстые слои толщины c, перпендикулярные к оси z, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна s, а толщина k3c.
В результате этих трёх операций вещество проводимости r разобьётся на прямоугольные параллелепипеды с размерами a, b, c, причём размер b крайне мал по сравнению с c и размер a крайне мал по сравнению с b. Эти параллелепипеды погружены в вещество с проводимостью s, так что они отдалены друг от друга на расстояния k1a вдоль оси x, k2b - в направлении оси y и k3c - в направлении оси z. Проводимости образованного таким образом проводника можно определить, если трижды последовательно воспользоваться результатами п. 321.
При этом мы получим
r
1
=
{1+k
1
(1+k
2
)(1+k
3
)}r
+
(k
2
+k
3
+k
2
k
3
)s
(1+k2)(1+k3)(k1r+s)
s
,
r
2
=
(1+k
2
+k
2
k
3
)r
+
(k
1
+k
3
+k
1
k
2
+k
1
k
3
+k
1
k
2
k
3
)
s
,
(1+k3){k2r+(1+k1+k1k2)s}
s
,
r
3
=
(1+k3)(r+(k1+k2+k1k2)s)
k
1
r
+
(1+k
1
+k
2
+k
2
k
3
+k
3
k
1
+k
1
k
2
+k
1
k
2
k
3
)s
s
.
Точность
r
1
=
5r+3s
4r+4s
s
,
r
2
=
3r+5s
2r+6s
s
,
r
3
=
2r+6s
r+7s
.
Если r=0, т. е. если среда, из которой сделаны параллелепипеды, представляет собой совершенный изолятор, то
r
1
=
3
4
s
,
r
2
=
5
6
s
,
r
3
=
6
7
s
.
Если r=, т. е. если параллелепипеды являются идеальными проводниками,
r
1
=
5
4
s
,
r
2
=
3
2
s
,
r
3
=
2s
.
В любом случае, если k1=k2=k3, можно показать, что r1, r2 и r3, расположены в порядке возрастания величины, так что наибольшая проводимость имеет место в направлении наибольшего размера параллелепипедов, а наибольшее сопротивление - в направлении наименьших размеров.
323. Пусть в прямоугольном параллелепипеде, сделанном из проводящего твёрдого тела, имеется проводящий канал между противоположными вершинами, представляющий собой провод, покрытый изолирующим материалом. Пусть поперечные размеры канала настолько малы, что проводимость тела не изменяется, если не считать тока, идущего по проводу.
Пусть размеры параллелепипеда в направлениях координатных осей будут равны a, b и c, и пусть проводимость канала, идущего от начала координат к точке (abc), равна abcK.
Электродвижущая сила, действующая между концами канала, равна aX+bY+cZ, и если ток вдоль канала равен C' то C'=Kabc(aX+bY+cZ).
Ток, идущий через грань параллелепипеда bc равен bcu, и он складывается из тока, обусловленного проводимостью тела, и из тока, обусловленного проводимостью канала, или
bcu
=
bc
(r
1
X+p
1
Y+q
1
Z)
+
Kabc(aX+bY+cZ)
,