Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Для простоты мы будем предполагать, что среда изотропна в каждой точке, но не обязательно однородна в различных точках. В этом случае уравнение Пуассона, согласно п. 83, становится таким:
d
dx
K
dV
dx
+
d
dy
K
dV
dy
+
d
dz
K
dV
dz
+4
=
0,
(1)
где K - «удельная индуктивная
«Уравнение непрерывности» для электрического тока будет
d
dx
1
r
dV
dx
+
d
dy
1
r
dV
dy
+
d
dz
1
r
dV
dz
–
d
dt
=
0,
(2)
где r - удельное сопротивление на единицу объёма.
Если функции K или r имеют разрывы, эти уравнения нужно преобразовать в такие, которые будут удобны для рассмотрения поверхностей разрыва.
В строго однородной среде обе величины r и K являются постоянными, так что мы находим
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
d^2V
dz^2
=
– 4
K
=
r
d
dt
,
(3)
откуда
=
C exp
–
4
Kr
t
,
(4)
или, если положим
T
=
Kr
4
,
=
C exp
–
r
T
.
(5)
Этот результат показывает, что если на однородную среду действуют любые внешние электрические силы и если в объёме среды первоначально был любым способом создан электрический заряд, этот внутренний заряд будет вымирать со скоростью, которая не зависит от внешних сил, так что в конце концов внутри среды не будет электрического заряда, после чего никакие внешние силы не смогут ни создать, ни удержать заряд в любой внутренней части среды, если только соотношение между электродвижущей силой, электрической поляризацией и током остаётся неизменным. Если возникает пробой, эти соотношения теряют свою справедливость, и внутренний заряд может быть создан.
О прохождении тока через конденсатор
326. Пусть C - ёмкость конденсатора, R - его сопротивление, а E - электродвижущая сила, действующая на конденсатор, т. е. разность потенциалов на поверхностях металлических электродов.
Тогда количество электричества на той стороне, от которой действует электродвижущая сила, будет равно CE, а ток через вещество конденсатора в направлении электродвижущей силы будет равен E/R.
Если предполагается, что электризация производится электродвижущей силой E действующей на контур, частью которого является рассматриваемый конденсатор, и если dQ/dt есть ток в этом контуре, то
dQ
dt
=
E
R
+
C
dE
dt
.
(6)
Введём в эту цепь батарею с электродвижущей
dQ
dt
=
E0– E
r1
=
E
R
+
C
dE
dt
.
(7)
Таким образом, в любое время t1
E
(=E
1
)
=
E
0
R
R+r1
(1-e
– t1/T1
)
, где
T
1
=
CRr1
R+r1
.
(8)
Пусть, далее, цепь с сопротивлением r1 разрывается на время t2. Полагая r1 бесконечной величиной, мы получим из (7)
E
(=E
2
)
=
E
1
e
– t1/T1
, где
T
1
=
CR
.
(9)
Наконец, соединим поверхности конденсатора проводом, сопротивление которого равно r3, и пусть длительность этого соединения равна t3, тогда, полагая в (7) E0, r1=r3, мы получим
E
(=E
3
)
=
E
2
e
– t3/T3
, где
T
3
=
CRr3
R+r3
.
(10)
Если Q3 есть полный разряд через этот провод за время t3, то
Q
3
=
E
0
CR^2
(R+r1)(R+r3)
(1-e
– t1/T1
)
e
– t2/T2
(1-e
– t3/T3
)
.
(11)
Таким путём мы можем найти разряд через провод, с помощью которого соединяются поверхности конденсатора после того, как конденсатор в течение времени t1 заряжается, а потом в течение времени t2 изолируется. Если, как это обычно бывает, время зарядки достаточно для того, чтобы образовался полный заряд, и если время разрядки достаточно для полной разрядки, то разряд равен