Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
=
4m
,
R-R'
=
4n
,
где - поверхностная плотность заряда.
Если a - составляющая по оси х результирующей силы, действующей на единицу поверхности вследствие напряжений по обе стороны от неё, то
a
=
l(p
xx
– p'
xx
)
+
m(p
xy
– p'
xy
)
+
m(p
xz
– p'
xz
)
=
=
1
8
l{
(P^2-P'^2)
–
(Q^2-Q'^2)
–
(R^2-R'^2)}
+
+
1
4
m
(PQ-P'Q')
+
1
4
n
(PR-P'R')
=
=
1
8
l{
(P-P')(P+P')
–
(Q-Q')(Q+Q')
–
(R-R')(R+R')}
+
+
1
8
m{
(P-P')(Q+Q')
+
(P+P')(Q-Q')
}+
+
1
8
n{
(P-P')(R+R')
+
(P+P')(R-R')
}=
=
1
2
l{
l(P+P')
–
m(Q+Q')
–
n(R+R')
}+
+
1
2
m{
l(Q+Q')
+
m(P+P')
}+
+
1
2
n{
l(R+R')
+
n(P+P')
}=
1
2
(P+P')
.
Таким
К этому же результату мы пришли в п. 79 фактически аналогичным методом.
Таким образом, гипотеза о напряжении в окружающей среде применима и в случае, когда на конечной поверхности сосредоточено конечное количество электричества.
Обычно значение результирующей силы, действующей на элемент поверхности, выводится из теории действия на расстоянии при рассмотрении участка поверхности, размеры которого много меньше радиусов кривизны поверхности 1.
1 Этот метод берёт начало от Лапласа. См. Пуассон «О распределении электричества...». M'em. de l'Institut, 1811, р. 30.
Возьмём на нормали к средней точке этого элемента поверхности точку P, расстояние которой от поверхности много меньше размеров элемента поверхности - Электродвижущая напряжённость в этой точке, обусловленная небольшим участком поверхности, приблизительно равна напряжённости, создаваемой бесконечной плоскостью, т. е. равна 2 и направлена от поверхности по нормали к ней. В точке P', расположенной точно так же по другую сторону поверхности, напряжённость будет такая же, но направлена в противоположную сторону.
Теперь рассмотрим ту часть электродвижущей напряжённости, которая создаётся остальной поверхностью и другими заряженными телами, находящимися на конечном расстоянии от рассматриваемого элемента поверхности. Поскольку точки P и P' бесконечно близки друг к другу, составляющие электродвижущей напряжённости, создаваемой зарядами, находящимися на конечном расстоянии, будут в
Обозначим x-составляющую электродвижущей напряжённости в точках A и A', создаваемую зарядами, находящимися на конечном расстоянии, через P0. Тогда значение полной x-составляющей в точке A будет P=P0+2l, а в точке A' - P'=P0– 2l, откуда P0=(P+P')/2.
Но полная механическая сила, действующая на элемент поверхности, должна являться целиком результатом действия зарядов на конечных расстояниях, поскольку суммарная сила действия элемента на самого себя равна нулю. Поэтому x-составляющая силы, приходящейся на единицу площади, равна
a
=
P
0
=
(P+P')/2
.
(25)
108. Если (как в уравнении (2)) определить потенциал через считаемое заданным распределение электричества, то из того, что действие и противодействие для пары точечных зарядов равны и противоположны, следует, что x-составляющая силы воздействия системы на саму себя равна нулю, что может быть записано в виде
1
4
d
dx
^2
dx
dy
dz
=
0.
(26)
Но если определять как функцию x, y, z, удовлетворяющую уравнению ^2=0 в любой точке вне замкнутой поверхности s и равную нулю на бесконечном расстоянии, то равенство нулю рассматриваемого объёмного интеграла по любому объёму, включающему s, представляется нуждающимся в доказательстве.
Один из методов доказательства основан на теореме (п. 100в), утверждающей, что если ^2 задано в любой точке и =0 на бесконечном расстоянии, то значение в каждой точке определено и равно
'
=
1
4
1
r
^2
dx
dy
dz
,
(27)
где r - расстояние между элементом dxdydz, где концентрация задана равной ^2, и точкой x, y, z, где ищется .
Этим теорема сводится к полученному нами следствию из первого определения .
Однако если рассматривать как первичную функцию от x, y, z, через которую выражаются остальные, то целесообразнее свести (26) к поверхностному интегралу
A
=
(
lp
xx
+
mp
xy
+
np
xz
)
dS
.
(28)
Если поверхность S находится всюду на большом расстоянии a от поверхности s, охватывающей все точки, в которых ^2 отлично от нуля, то, как мы знаем, не может численно превосходить e/a (4e- объёмный интеграл от ^2), R не может превосходить -(d/da) т.е. e/a^2, а величины pxx, pxy, pxz, не могут каждая превосходить p, т.е. R^2/(8) или e4/(8a4). Значит, поверхностный интеграл по сфере очень большого радиуса a не может превосходить e^2/(2a^2) и при неограниченно возрастающем радиусе поверхностный интеграл стремится к нулю.