Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Это выражение для силы является буквальным переводом на математический язык теории, предполагающей прямое воздействие электрической силы между телами на расстоянии и не придающей значения промежуточной среде.
Если теперь определить потенциал 2 в точке x1, y1, z1 возникающий из-за наличия системы E2, уравнением
2
=
2
s
dx
2
dy
2
dz
2
,
(2)
то 2
^2
2
=
4
2
.
(3)
Величину A можно теперь записать в виде тройного интеграла
A
=-
d2
x1
1
dx
1
dy
1
dz
1
.
(4)
Здесь предполагается, что потенциал 2 имеет определённое значение в каждой точке поля. Сила A выражается через этот потенциал и через плотность электричества 1 в первой системе E1; распределение электричества во второй системе E2 явно сюда не входит.
Пусть теперь 1– потенциал, создаваемый первой системой, выраженный как функция от x1, y1, z1 и определяемый уравнением
1
=
1
r
dx
1
dy
1
dz
1
.
(5)
Он обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет всюду уравнению
^2
1
=
4
1
.
(6)
Мы можем теперь исключить 1 из A и получить соотношение
A
=-
1
4
d2
dx1
^2
1
dx
1
dy
1
dz
1
,
(7)
выражающее силу только через оба потенциала.
104. В рассмотренных до сих пор интегралах безразлично, каковы их пределы, лишь бы они включали весь объём системы E1. Но теперь мы предположим, что системы E1 и E2 таковы, что существует некоторая замкнутая поверхность s содержащая внутри всю систему E1 и ни одной части системы E2.
Положим также
=
1
+
2
,
=
1
+
2
.
(8)
Тогда
1
=0
,
=
2
.
(9)
Далее, интеграл
A
11
=-
d1
dx1
1
dx
1
dy
1
dz
1
(10)
даёт x-составляющую результирующей силы, действующей на систему E1 из-за наличия электричества в самой этой системе. Но по теории прямого взаимодействия эта сила должна быть равна нулю, так как сила действия любой частицы P на частицу Q равна и противоположна силе действия Q на P, а поскольку в интеграл входят составляющие обеих сил, то они уничтожают друг друга.
Поэтому можно написать
A
=-
1
4
d
dx
^2
dx
1
dy
1
dz
1
,
(11)
где - потенциал, создаваемый обеими системами, а интегрирование ограничено объёмом внутри поверхности s, охватывающей всю систему E1 и ни одной части системы E2.
105. Если считать, что E2 действует на E1 не непосредственно на расстоянии, а через посредство напряжений, распределённых в среде, простирающейся непрерывно от E2 до E2, то очевидно, что, зная напряжения во всех точках любой замкнутой поверхности, полностью отделяющей E1 от E2, мы можем определить механическое действие E2 на E1. Если бы сила, действующая на E1, не полностью объяснялась напряжением на s, это означало бы прямое взаимодействие между чем-то вне s и чем-то внутри s.
Следовательно, если действие E2 на E1 можно объяснить распределением напряжений в промежуточной среде, то оно должно записываться в виде поверхностного интеграла по любой поверхности s, полностью отделяющей E2 от E1.
Попытаемся поэтому представить
A
=-
1
4
d
dx
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
+
d^2
dz^2
dx
dy
dz
(12)
в виде поверхностного интеграла.
По Теореме III, п. 21, это возможно, если удаётся найти такие X, Y, Z, что
d
dx
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
+
d^2
dz^2
=
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
.
(13)
Преобразуя отдельно каждое слагаемое, получим