Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
=
d
dx
,
4g
=
d
dy
,
4h
=
d
dz
,
(25)
где определяется требованием, чтобы в каждой точке поля выполнялось условие
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
(26)
и чтобы криволинейный интеграл
4
f
dx
ds
+
g
dy
ds
+
h
dz
ds
ds
,
(27)
взятый
Положим
=
1+A
+
B(z-a)
+
C(z-a)^2
(28)
и будем пренебрегать степенями и произведениями A, B, C, пренебрежём также на данном этапе степенями и произведениями первых производных от a и b.
Условие соленоидальности даёт при этом
A
=
– ^2a
,
B
=-
1
2
^2(b-a)
b-a
,
(29)
где
^2
=-
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
(30)
Вместо того чтобы брать криволинейный интеграл по новой линии индукции, мы возьмём его по старой линии индукции, параллельной z. Тогда второе условие соленоидальности даёт
1=1
+A
+
1
2
B(b-a)
+
1
3
C(a-b)^2
откуда
A
=
1
6
(b-a)
^2
(2a+b)
(31)
и
=
1+
1
6
(b-a)
^2
(2a+b)
–
(z-a)
^2a
–
1
2
(z-a)^2
b-a
^2
(b-a)
.
(32)
Таким образом, мы находим второе приближение для составляющих смещения
– 4f
=
b-a
da
dx
+
d(b-a)
dx
z-a
b-a
,
– 4g
=
b-a
da
dy
+
d(b-a)
dy
z-a
b-a
,
– 4h
=
b-a
(33)
второе приближение для потенциала
=
z-a
b-a
+
1
6
^2
(2a+b)
(z-a)
–
1
2
^2a
(z-a)^2
b-a
–
–
1
6
^2
(b-a)
(z-a)^3
(b-a)^2
.
(34)
Если обозначить через a и b поверхностные плотности на поверхностях a и b, а через a и b– соответствующие потенциалы, то
a
=
1
4
(
a
–
b
)
1
b-a
+
1
3
^2a
+
1
6
^2b
,
b
=
1
4
(
b
–
a
)
1
b-a
–
1
6
^2a
–
1
3
^2b
.
ГЛАВА V
103. Пусть E1 и E2– две электрические системы, взаимодействие между которыми и является предметом рассмотрения. Пусть распределение заряда в системе E1 даётся объёмной плотностью 1 в элементе объёма с координатами x1, y1, z1, a 2– объёмная плотность в элементе объёма системы E2 с координатами x2, y2, z2.
Тогда x-составляющая силы отталкивания, действующей на элемент E1 со стороны элемента E2, равна
1
2
x1– x2
r^3
dx
1
dy
1
dz
1
dx
2
dy
2
dz
2
,
где r^2 = (x1– x2)^2 + (y1– y2)^2 + (z1– z2)^2, а x-составляющая A полной силы, действующей на систему E1 из-за наличия системы E2, равна
A
=
x1– x2
r^3
1
2
dx
1
dy
1
dz
1
dx
2
dy
2
dz
2
,
(1)
где интегрирование по x1, y1, z1 производится по объёму, занимаемому системой E1 а интегрирование по x2, y2, z2– по объёму, занимаемому системой E2. Но поскольку 1 равно нулю вне системы E1, а 2 равно нулю вне системы E2, то значение интеграла не изменится при расширении пределов интегрирования, так что мы можем считать пределы интегрирования равными ±.