Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
=
0,
или
d^2V
dr^2
+
1
r
dV
dr
+
1
r^2
d^2V
d^2
=
0.
Решение этого уравнения в виде суммы по возрастающим степеням r представляется так:
V
=
V
0
+
A
1
r cos(+
1
)
+
A
2
r
2
cos(2+
2
)
+
+…+
A
n
r
n
cos(n+
n
)
.
В
V-V
0
=
A
n
r
n
cos(n+
n
)
+
+чл.высш. порядка по
r
.
Это уравнение показывает, что n листов эквипотенциальной поверхности пересекают друг друга под углом /n. Эта теорема была сформулирована Рэнкином 1.
1 «Сводка свойств некоторых линий потока», Phil. Mag., Oct., 1864. См. также Thomson and Tait, «Natural Philosophy», § 780; Rankine and Stokes, Proc. R. S., 1867, p. 468, a также W. R. Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.
В свободном пространстве линия равновесия может существовать лишь в особых условиях, но на поверхности проводника она существует обязательно, если на одной части поверхности проводника плотность заряда положительна, а на другой - отрицательна.
Для того чтобы различные части поверхности проводника могли быть заряжены противоположными зарядами, необходимо, чтоб в поле были области, где потенциал выше потенциала тела, и другие области, где потенциал ниже потенциала тела.
Рассмотрим сначала два проводника, заряженных положительно до одинакового потенциала. Где-то между этими двумя телами будет располагаться точка равновесия. Будем постепенно уменьшать потенциал первого тела. Тогда точка равновесия будет постепенно приближаться к нему и в некоторый момент окажется на его поверхности. При дальнейшем изменении потенциала эквипотенциальная поверхность вокруг второго тела, имеющая потенциал, равный потенциалу первого тела, начнёт пересекать под прямым углом поверхность первого тела по некоторой замкнутой кривой, являющейся линией равновесия. Эта линия равновесия, обметя всю поверхность проводника, стягивается затем вновь в точку. После этого точка равновесия удаляется от тела по другую его сторону и уходит в бесконечность, когда заряды обоих тел становятся равными по величине и противоположными по знаку.
Теорема Ирншоу
116. Заряженное тело, помещённое в поле электрической силы, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия.
Сначала предположим, что электричество на подвижном теле A а также в системе окружающих тел B фиксировано
Пусть V - потенциал в произвольной точке подвижного тела, обусловленный действием окружающих тел B, а e - заряд в некотором малом участке тела A, примыкающем к этой точке. Тогда потенциальная энергия тела A по отношению к системе B равна M=(Ve) где суммирование производится по всем заряженным участкам тела A.
Пусть a, b, c - координаты произвольного заряженного участка тела A относительно осей, фиксированных в теле A и параллельных осям x, y, z, Пусть абсолютные координаты начала отсчёта этих осей равны , , .
Предположим пока, что тело A может совершать лишь поступательное движение. Тогда абсолютные координаты точки a, b, c равны x=+a, y=+b, z=+c.
Потенциал тела A по отношению к системе B может быть выражен как сумма членов, в каждом из которых V выражено через a, b, c и , , . Сумма этих членов является функцией от a, b, c постоянных для любой точки тела, и от , , , изменяющихся при перемещении тела.
Поскольку каждый член суммы удовлетворяет уравнению Лапласа, то и вся сумма удовлетворяет этому уравнению:
d^2M
d^2
+
d^2M
d^2
+
d^2M
d^2
=
0.
Дадим телу A малое перемещение, так что d=ldr, d=mcr, d=ndr, и пусть dM - приращение потенциала тела A по отношению к окружающей системе B.
Если бы оно было положительно, то для увеличения r надо было бы совершить работу и существовала бы сила R=dM/dr, стремящаяся уменьшить r и вернуть тело A в прежнее положение, так что для этого перемещения равновесие было бы устойчивым. Если же, наоборот, оно отрицательно, то сила стремится увеличить r, и равновесие неустойчиво.
Рассмотрим теперь сферу с центром в начале координат и радиусом r столь малым, что при нахождении фиксированной точки тела A внутри этой сферы ни одна точка подвижного тела A не может совпасть с какой-либо частью внешней системы B. Тогда, поскольку внутри сферы ^2M=0, интеграл (dM/dr)dS по поверхности сферы равен нулю.
Следовательно, если в какой-либо части поверхности сферы dM/dr положительно, то должна существовать другая часть поверхности, на которой оно отрицательно, и если тело A сместить по направлению, вдоль которого dM/dr отрицательно, то оно будет стремиться отклоняться от первоначального положения, так что равновесие тела обязательно неустойчиво.
Таким образом, равновесие тела неустойчиво, даже если тело может двигаться только поступательно; оно тем более неустойчиво для совершенно свободного тела.
Предположим теперь, что тело A является проводником. Мы могли бы рассматривать этот случай как равновесие системы тел, считая подвижное электричество частью этой системы. Тогда мы могли бы заключить, что поскольку система является неустойчивой, будучи лишённой многих степеней свободы при фиксировании распределения электричества, то она тем более неустойчива при восстановлении этих степеней свободы.
Но этот случай можно рассмотреть и специально следующим образом.
Пусть сначала распределение электричества на теле A фиксировано и тело A перемещается поступательно на небольшое расстояние dr. Обусловленное этим увеличение потенциала тела A было уже рассмотрено.
Пусть теперь электрическим зарядам предоставлена возможность переместиться по телу A в своё положение равновесия, которое всегда устойчиво. При этом перемещении потенциал обязательно уменьшится на величину, которую мы обозначим через Cdr.